===== 1.3.15*. Производная композиции: $x^x$ =====

Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

==== Условие задачи ====
Найти производную функции $f(x) = x^x$ ($x>0$).

==== Решение ====
Показательно-степенная функция — используем логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем:
$$ \ln f = x\ln x. $$

Дифференцируем обе части по $x$ (правая часть — произведение):
$$ \frac{f'}{f} = \ln x + x\cdot\frac1x = \ln x + 1. $$

$$ f'(x) = f(x)(\ln x+1) = x^x(\ln x+1). $$

==== Ответ ====
$$ \boxed{f'(x) = x^x(\ln x+1)} $$