===== 1.3.14*. Производная композиции: $\ln(\sin(\sqrt{2x}))$ =====

Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

==== Условие задачи ====
Найти производную функции
$$ f(x) = \ln\bigl(\sin(\sqrt{2x})\bigr). $$

==== Решение ====
Тройная композиция $\ln \to \sin \to \sqrt{\phantom{x}}$.

$$ \left(\sqrt{2x}\right)' = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}. $$

$$ \left(\sin(\sqrt{2x})\right)' = \cos(\sqrt{2x})\cdot\frac{1}{\sqrt{2x}}. $$

$$ f'(x) = \frac{1}{\sin(\sqrt{2x})}\cdot\cos(\sqrt{2x})\cdot\frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{\mathrm{ctg}(\sqrt{2x})}{\sqrt{2x}}. $$

==== Ответ ====
$$ \boxed{f'(x) = \dfrac{\mathrm{ctg}(\sqrt{2x})}{\sqrt{2x}}} $$