===== 1.3.12*. Производная композиции: $(1+x)\sqrt{2+x^2}\sqrt[3]{1+x^3}$ =====

Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

==== Условие задачи ====
Найти производную функции
$$ f(x) = (1+x)\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{1+x^3}. $$

==== Решение ====
Удобно применить логарифмическое дифференцирование. Пусть $f(x)>0$. Логарифмируем:
$$ \ln f = \ln(1+x) + \frac12\ln(2+x^2) + \frac13\ln(1+x^3). $$

Дифференцируем обе части по $x$:
$$ \frac{f'}{f} = \frac{1}{1+x} + \frac12\cdot\frac{2x}{2+x^2} + \frac13\cdot\frac{3x^2}{1+x^3} = \frac{1}{1+x} + \frac{x}{2+x^2} + \frac{x^2}{1+x^3}. $$

Отсюда:
$$ f'(x) = f(x)\left[\frac{1}{1+x} + \frac{x}{2+x^2} + \frac{x^2}{1+x^3}\right]. $$

==== Ответ ====
$$ \boxed{f'(x) = (1+x)\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{1+x^3}\left[\frac{1}{1+x} + \frac{x}{2+x^2} + \frac{x^2}{1+x^3}\right]} $$