===== 1.3.1. Производная композиции: $\mathrm{tg}(5x)$ =====

==== Условие задачи ====
Найти производную функции $f(x) = \mathrm{tg}(5x)$.

==== Решение ====
Цепное правило: $f(x)=\mathrm{tg}(u)$, $u=5x$, $u'=5$.
$$ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(u)}\cdot u' = \frac{5}{\cos^2(5x)}. $$

==== Ответ ====
$$ \boxed{f'(x) = \dfrac{5}{\cos^2(5x)}} $$