===== 1.2.1. Производная дроби: $\mathrm{tg}\,x$ =====

==== Условие задачи ====
Найти производную функции $f(x) = \mathrm{tg}\,x$, представив её как дробь $\dfrac{\sin x}{\cos x}$.

==== Решение ====
Правило дифференцирования дроби: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, где $u=\sin x$, $v=\cos x$.

$$ f'(x) = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}. $$

==== Ответ ====
$$ \boxed{f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x}} $$