Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ==== Задача 1. ==== а) Найдите собственные числа и базис из собственных векторов оператора $R:\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}\to\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}$ , заданного по правилу $R:f(x)\mapsto f(1-x)-f(x)$; б) изобразите графики найденных базисных многочленов на отрезке $[0,1].$ ----- $$R:f(x)\mapsto f(1-x)-f(x),$$ $$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$$ тогда $$R:f(x)\mapsto a_{0}+a_{1}(1-x)+a_{2}(1-x)^{2}-(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=$$ $$a_{0}+a_{1}-a_{1}x+a_{2}(1-2x+x^{2})-(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=a_{1}+a_{2}-2(a_{1}+a_{2})x$$ $$\left(\begin{array}{c} a_{1}+a_{2}\\ 2(a_{1}+a_{2})\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ a_{2} \end{array}\right).$$ Так как матрица верхнетреугольна, то собственные числа на диагонали это $2$ и второй корень $0$ --- кратности два. $$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_{2}+x_{3}\\ 2x_{2}+2x_{3}\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right).$$ Ядро преобразования состоит из собственных векторов $(1,0,0)^{T}$ и $(0,1,-1)^{T}$ с корнем $\lambda=0$. $$\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -2\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -2\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ ==== Задача 2. ==== Найдите ядро и образ оператора P на $\mathbb{R}^{3}$ , заданного в стандартном ОНБ матрицей $E-uu^{T}$ , где $u$ --- это столбец, $u=\frac{1}{3}(-1,2,2)^{T}$. Доказать, что $\text{Ker}P\bot\text{Im}P.$ ----- $$A=E-uu^{T}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\frac{1}{9}\left(\begin{array}{c} -1\\ 2\\ 2 \end{array}\right)(-1,2,2)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2\\ -2 & 4 & 4\\ -2 & 4 & 4 \end{array}\right)=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc} 8 & 2 & 2\\ 2 & 5 & -4\\ 2 & -4 & 5 \end{array}\right)$$ $$\chi_{A}=\lambda(\lambda-9)^{2}=0$$ $$\left(\begin{array}{ccc} 8 & 2 & 2\\ 2 & 5 & -4\\ 2 & -4 & 5\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 2\\ 2 & 1 & -4\\ 2 & 1 & 5\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 4 & 2\\ 0 & 1 & -4\\ 0 & 1 & 5\\ \hline 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right).$$ Значит $\text{Ker}P=\left\langle (1,-2,-2)^{T}\right\rangle $, $\text{Im}P=\left\langle (4,1,1)^{T},(2,-4,5)^{T}\right\rangle $. Скалярное произведение $\left((1,-2,-2)^{T}(4,1,1)^{T}\right)=4-2-2=0,$ $\left((1,-2,-2)^{T}(2,-4,5)^{T}\right)=2+8-10=0.$ ==== Задача 3. ==== Пусть $U$ --- подпространство в пространстве всех $2\times2$--матриц $M_{2}(\mathbb{R})$, состоящее из матриц вида $$\left(\begin{array}{cc} x & y\\ z & -x \end{array}\right),$$ $C_{A}:M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R})$ --- это оператор, заданный по правилу $C_{A}(X)=AXA^{-1}$, где $$A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right).$$ Доказать, что $U$ инвариантно относительно $C_{A}$ и найти матрицу ограничения (сужения) $\left.C_{A}\right|_{U}$ в каком-нибудь базисе подпространства $U.$ ----- $$\left(\begin{array}{cc} x & y\\ z & -x \end{array}\right)\in U\subset M_{2}(\mathbb{R})$$ $$C_{A}(X)=AXA^{-1},$$ где $$A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right),$$ найдём $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & 0 \end{array}\right)$$ тогда $$C_{A}(X)=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} x & y\\ z & -x \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} z & -x\\ x+z & y-x \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} z+x & -z\\ \left(2x+z+y\right) & \left(-x-z\right) \end{array}\right)\in U.$$ Запишем матрицу $X$ в базисе $$\left(\begin{array}{cc} x & y\\ z & -x \end{array}\right)=x\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}.$$ Тогда в этом базисе матрица сужения: $$\left.C_{A}\right|_{U}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right).$$ ==== Задача 4. ==== Вычислить $\sin A,$ где $$A=\left(\begin{array}{cc} \pi-1 & -1\\ 1 & \pi+1 \end{array}\right)$$ ----- $$\chi_{A}=\det\left(\begin{array}{cc} \pi-1-\lambda & -1\\ 1 & \pi+1-\lambda \end{array}\right)=\lambda^{2}-2\pi\lambda+\pi^{2}=\left(\pi-\lambda\right)^{2}.$$ Корень вырожден, тогда воспользуемся многочленом Тейлора: $$f(A)=Ef(\lambda)+f^{(1)}(\lambda)\left(A-\lambda E\right)=$$ $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\sin\pi+\cos\pi\left(\left(\begin{array}{cc} \pi-1 & -1\\ 1 & \pi+1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \pi & 0\\ 0 & \pi \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{array}\right).$$ ==== Задача 5. ==== Доказать, что $\mathbb{R}^{2}$ есть прямая сумма собственных подпространств оператора с матрицей $$A=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{array}\right)$$ и найти проекцию вектора $(2,1)^{T}$ на собственное подпространство, отвечающее большему собственному числу, параллельно собственному подпространству, отвечающему меньшему собственному числу. ----- Найдём собственные числа: $$\chi_{A}=\lambda^{2}-6\lambda+8=(2-\lambda)(4-\lambda).$$ Найдём собственные вектора или соответствующие ядра: для $\lambda=2$: $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1\\ \hline 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 1\\ \hline 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right),$$ собственный вектор $(1,-1)^{T},$ для $\lambda=4$: $$\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 1 & -1\\ \hline 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & -1\\ \hline 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right),$$ собственный вектор $(1,1)^{T}.$ Разложим вектор $(2,1)^{T}=\alpha(1,-1)^{T}+\beta(1,1)^{T}$ Тогда возникает система $\alpha+\beta=2,-\alpha+\beta=-1$, следовательно, $\beta=\frac{1}{2},\alpha=\frac{3}{2}$ так, что $(2,1)^{T}=\frac{3}{2}(1,-1)^{T}+\frac{1}{2}(1,1)^{T}.$ Тогда проекция вектора на подпространство с большим собственным числом --- $\frac{1}{2}(1,1)^{T}.$