Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. Эрмитовым (или унитарным) пространством будем называть линейное пространство $V$ над комплексным полем $\mathbb{C}$ с определённой на нём функцией $\left(,\right):V^{2}\to\mathbb{R},$ называемой скалярным произведением: $\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\overline{\boldsymbol{x}}^{T}G\boldsymbol{y}=x^{\dagger}Gy=\sum_{i}\sum_{j}\overline{x}^{i}g_{ij}y^{j},$ где $G=G^{\dagger}=g_{ij}=\left(\boldsymbol{e}_{i},\boldsymbol{e}_{j}\right)$ --- матрица Грамма и мы определили операцию <<кинжал>> $G^{\dagger}=\overline{G}^{T},$ которая является применяется к исходной матрице $G$ транспонированием и взятием комплексного сопряжения для каждого элемента матрицы. Если линейное пространство построено над полем вещественных чисел, то это евклидово пространство. При определённом выше скалярное умножение линейно по второму аргументу $\left(\boldsymbol{x},\alpha\boldsymbol{y}+\beta\boldsymbol{z}\right)=\alpha\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+\beta\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)$ и анти-линейно по первому: $\left(\alpha\boldsymbol{y}+\beta\boldsymbol{z},\boldsymbol{x}\right)=\overline{\alpha}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right)+\overline{\beta}\left(\boldsymbol{z},\boldsymbol{x}\right)$ такое умножение не коммутативно: $\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\overline{\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right)}$ за счёт чего достигается положительная определённость $\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right)\geqslant0,$ а равенство $\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right)=0$ выполняется только при $\boldsymbol{x}=0.$ Для оператора $A$ оператор $A^{*}$ называется сопряжённым если для произвольных векторов $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in L$ справедливо равенство $\left(A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{y}\right).$ Легко показать, что $A^{*}=G^{-1}A^{\dagger}G$: $\left(A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\overline{(A\boldsymbol{x})}^{T}G\boldsymbol{y}=\overline{(\boldsymbol{x})}^{T}\overline{(A)}^{T}G\boldsymbol{y}=GA^{*}\boldsymbol{y},$ следовательно, $\overline{(A)}^{T}G=GA^{*}$ и, окончательно, $A^{*}=G^{-1}\overline{(A)}^{T}G=G^{-1}A^{\dagger}G.$ Для сопряжённого оператора $A^{*}$ справедливо: $(A^{*})^{*}=A$, а спектр $\text{Spec}(A^{*})=\overline{\text{Spec}(A)}$. Если у оператора $A$ имеется инвариантное подпространство $A\left(L\right)\subseteq L,$то для сопряжённого оператора $A^{*}$ инвариантным будет его ортогональное дополнение $A^{*}\left(L^{\bot}\right)\subseteq L^{\bot}.$ Операторы можно разделить на классы: 1. эрмитовы (самосопряжённые) $A^{*}=A;$ 2. косоэрмитовы (кососамосопряжённые) $A^{*}=-A;$ 3. унитарные (изометричные) $A^{*}=A^{-1}.$ Если операторы рассматриваются на евклидовом пространстве (над полем вещественных чисел), то их называют симметричные, кососимметричные и ортогональные. Все эти операторы являются \guillemotleft нормальными\guillemotright{} для которых выполняется равенство $A^{*}A=AA^{*}.$