Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. Для нахождения проекции вектора $\vec{v}$ на подпространство $L$ и ортогональное дополнение $L^{\bot}$ можно выбрать базис пространства $V=L\oplus L^{\bot}$, затем его процессом ортогонализации Грама --- Шмидта ортогонализовать, затем нормализовать и наконец записать вектор в этом базисе. Другой путь представить вектор $v=v_{1}+v_{2},$ где $v_{1}\in L,v_{2}\in L^{\bot}$ расписав его через линейную оболочку и ортогональное дополнение. Пусть $L=\left\langle a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle $. Сначала надо понять линейно--независимая ли система векторов $a_{1},a_{2},a_{3}$? Если они линейно--зависимы, то выбираем среди них линейно--независимые, например $L=\left\langle a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle =\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle $. Далее представляем наш вектор в виде $\vec{v}=\alpha_{1}a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+v_{2}$. Рассмотрим скалярное произведение: $$\left(a_{1},v\right)=\alpha_{1}\left(a_{1},a_{1}\right)+\alpha_{2}\left(a_{1},a_{2}\right)+\left(a_{1},v_{2}\right)=\alpha_{1}\left(a_{1},a_{1}\right)+\alpha_{2}\left(a_{1},a_{2}\right)+0,$$ тогда $$\left(a_{1},v\right)=\alpha_{1}a_{11}+\alpha_{2}a_{12}=b_{1}.$$ Аналогично для второго вектора: $$\left(a_{2},v\right)=\alpha_{1}a_{21}+\alpha_{2}a_{22}=b_{2}.$$ Решая уравнение $$\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2} \end{array}\right)$$ находим коэффициенты $\alpha_{1},\alpha_{2}$, строим проекцию $v=\alpha_{1}a_{1}+\alpha_{2}a_{2}$ и дополнение $v_{2}=v-v_{1}.$