Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. === Условие задачи === Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус \((1,1)\) и асимптоту \(x + y = 0\). === Решение === Для равносторонней гиперболы асимптоты взаимно перпендикулярны. Дана асимптота \(x + y = 0\). Вторая асимптота перпендикулярна ей и проходит через центр гиперболы. Пусть центр \(C(x_0, y_0)\). Так как \(C\) лежит на данной асимптоте, то \(x_0 + y_0 = 0 \Rightarrow y_0 = -x_0\). Вторая асимптота имеет угловой коэффициент \(1\), её уравнение: \(x - y = d\). Подставляя центр, получаем \(d = x_0 - y_0 = 2x_0\). Таким образом, вторая асимптота: \(x - y = 2x_0\). Центр гиперболы – точка пересечения асимптот, т.е. \((x_0, -x_0)\). Для равносторонней гиперболы оси симметрии параллельны координатным осям и проходят через центр. Биссектрисы углов между асимптотами (оси симметрии): \[ x = x_0, \qquad y = -x_0. \] Фокус \((1,1)\) должен лежать на одной из этих осей. Рассмотрим два случая. **Случай 1.** Фокус лежит на вертикальной оси \(x = x_0\). Тогда \(x_0 = 1\), центр \(C(1,-1)\). Расстояние от центра до фокуса: \[ c = |1 - (-1)| = 2. \] Для равносторонней гиперболы \(a = b\), \(c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2\) \(\Rightarrow a^2 = \dfrac{c^2}{2} = 2\). Ось вертикальная, уравнение гиперболы: \[ \frac{(y+1)^2}{a^2} - \frac{(x-1)^2}{b^2} = 1 \quad\Rightarrow\quad (y+1)^2 - (x-1)^2 = 2. \] **Случай 2.** Фокус лежит на горизонтальной оси \(y = -x_0\). Тогда \(-x_0 = 1 \Rightarrow x_0 = -1\), центр \(C(-1,1)\). Расстояние от центра до фокуса: \[ c = |1 - (-1)| = 2. \] Аналогично \(a^2 = 2\). Ось горизонтальная, уравнение гиперболы: \[ \frac{(x+1)^2}{a^2} - \frac{(y-1)^2}{b^2} = 1 \quad\Rightarrow\quad (x+1)^2 - (y-1)^2 = 2. \] Обе гиперболы имеют асимптоту \(x + y = 0\) и фокус \((1,1)\). **Ответ:** \[ \boxed{(y+1)^2 - (x-1)^2 = 2} \qquad \text{или} \qquad \boxed{(x+1)^2 - (y-1)^2 = 2}. \]