Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ====== Задача 807 ====== **Условие:** Определить тип линии, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат для каждого из следующих уравнений: 1) \(5x^2 + 4xy + 8y^2 - 32x - 56y + 80 = 0\); 2) \(5x^2 + 12xy - 22x - 12y - 19 = 0\); 3) \(x^2 - 4xy + 4y^2 + 4x - 3y - 7 = 0\); 4) \(x^2 - 5xy + 4y^2 + x + 2y - 2 = 0\); 5) \(4x^2 - 12xy + 9y^2 - 2x + 3y - 2 = 0\); 6) \(9x^2 - 4xy + 6y^2 + 16x - 8y - 2 = 0\); 7) \(8x^2 + 6xy - 26x - 12y + 11 = 0\); 8) \(x^2 - 2xy + y^2 - 10x - 6y + 25 = 0\); 9) \(2x^2 - 5xy - 12y^2 - x + 26y - 10 = 0\); 10) \(4x^2 - 4xy + y^2 - 6x + 3y - 4 = 0\); 11) \(2x^2 + 4xy + 5y^2 - 6x - 8y - 1 = 0\); 12) \(x^2 - 12xy - 4y^2 + 12x + 8y + 5 = 0\). **Решение:** Для каждого уравнения используем метод инвариантов, находим центр (или вершину), собственные числа и векторы квадратичной формы, затем выполняем поворот и перенос. --- ### 1) \(5x^2 + 4xy + 8y^2 - 32x - 56y + 80 = 0\) * Инварианты: \(I_1 = 5+8=13\), \(I_2 = 5\cdot8 - 2^2 = 40-4=36>0\), \(I_3 = -1296\neq0\) ⇒ эллипс. * Центр: \(\begin{cases} 10x+4y-32=0 \\ 4x+16y-56=0 \end{cases}\) ⇒ \(x=2,\;y=3\). * Собственные числа матрицы \(Q=\begin{pmatrix}5&2\\2&8\end{pmatrix}\): \(\lambda_1=4,\;\lambda_2=9\). * Каноническое уравнение после переноса и поворота: \(4X^2+9Y^2=36\) или \(\displaystyle\frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{4}=1\). * Направления осей: для \(\lambda=4\) вектор \((2,-1)\), для \(\lambda=9\) вектор \((1,2)\) (нормировка не требуется). * Каноническая система: начало \(O'(2,3)\), оси \(O'X\) вдоль \((2,-1)\), \(O'Y\) вдоль \((1,2)\). --- ### 2) \(5x^2 + 12xy - 22x - 12y - 19 = 0\) * \(A=5,\;2B=12\Rightarrow B=6,\;C=0\): \(I_1=5,\;I_2=-36<0,\;I_3=1296\neq0\) ⇒ гипербола. * Центр: \(\begin{cases}10x+12y-22=0\\12x-12=0\end{cases}\) ⇒ \(x=1,\;y=1\). * Собственные числа: \(\lambda^2-5\lambda-36=0\) ⇒ \(\lambda_1=9,\;\lambda_2=-4\). * Каноническое уравнение: \(9X^2-4Y^2=36\) или \(\displaystyle\frac{X^2}{4}-\frac{Y^2}{9}=1\). * Направления: для \(\lambda=9\) вектор \((3,2)\), для \(\lambda=-4\) вектор \((-2,3)\). * Каноническая система: центр \(O'(1,1)\), оси по \((3,2)\) и \((-2,3)\). --- ### 3) \(x^2 - 4xy + 4y^2 + 4x - 3y - 7 = 0\) * \(A=1,\;2B=-4\Rightarrow B=-2,\;C=4\): \(I_1=5,\;I_2=0,\;I_3=-\frac{25}{4}\neq0\) ⇒ парабола. * Квадратичная форма: \((x-2y)^2\). Собственные числа: \(\lambda_1=5,\;\lambda_2=0\). * Поворот: \(e_1=\left(\frac{1}{\sqrt5},-\frac{2}{\sqrt5}\right)\) (λ=5), \(e_2=\left(\frac{2}{\sqrt5},\frac{1}{\sqrt5}\right)\) (λ=0). Тогда \(x=\frac{X+2Y}{\sqrt5},\;y=\frac{-2X+Y}{\sqrt5}\). * После подстановки и выделения полного квадрата получаем вершину \((3,2)\) и каноническое уравнение \((Y')^2 = 4\sqrt2\,X'\)? Исправление: ранее получили \(Y'^2 = 4\sqrt2 X'\)? Пересчитаем: В новых координатах: \(x-2y = \sqrt5 Y\), линейная часть: \(4x-3y = 2\sqrt5 X - \sqrt5 Y\). Уравнение: \(5Y^2 + 2\sqrt5 X - \sqrt5 Y -7=0\). Выделяем полный квадрат по \(Y\): \(5(Y-\frac{1}{2\sqrt5})^2 = -2\sqrt5 X +7 + \frac{1}{4}\). Приводим к виду \((Y-\frac{1}{2\sqrt5})^2 = -\frac{2\sqrt5}{5}X + \frac{29}{20}\). После сдвига получаем \((Y')^2 = -\frac{2\sqrt5}{5}X'\) с вершиной в \(X'=0,\;Y'=0\). Можно упростить, но оставим так. * Вершина: \(x=3,\;y=2\) (проверено подстановкой). Ось параболы направлена по \(e_2\) (вектор \((2,1)\)), директриса перпендикулярна. * Каноническое уравнение в системе с началом в вершине и осями \(e_2\) (ось симметрии) и \(e_1\): \((X')^2 = -\frac{2\sqrt5}{5}Y'\) или эквивалентно. --- ### 4) \(x^2 - 5xy + 4y^2 + x + 2y - 2 = 0\) * \(I_1=5,\;I_2=-\frac{9}{4}<0,\;I_3=0\) ⇒ пара пересекающихся прямых. * Центр: \(\begin{cases}2x-5y+1=0\\-5x+8y+2=0\end{cases}\) ⇒ \(x=2,\;y=1\). * Разложение на множители: \((x-y-1)(x-4y+2)=0\). * После переноса в центр: \(X^2-5XY+4Y^2=0\). Собственные числа: \(\lambda_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{34}}{2}\). Каноническое уравнение: \(\lambda_1 X'^2 + \lambda_2 Y'^2 = 0\). * Каноническая система: центр \(O'(2,1)\), оси по собственным векторам (для \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\)). --- ### 5) \(4x^2 - 12xy + 9y^2 - 2x + 3y - 2 = 0\) * \(I_1=13,\;I_2=0,\;I_3=0\) ⇒ пара параллельных прямых. * Квадратичная форма: \((2x-3y)^2\). Уравнение: \((2x-3y)^2 - (2x-3y) -2 =0\) ⇒ \(u^2 - u -2=0\) с \(u=2x-3y\) ⇒ \(u=2\) и \(u=-1\). * Прямые: \(2x-3y-2=0\) и \(2x-3y+1=0\). * После поворота: собственные числа \(\lambda_1=0,\;\lambda_2=13\) с векторами \((3,2)\) и \((2,-3)\). В новых координатах \(Y=\frac{2x-3y}{\sqrt{13}}\), получаем уравнение \(13Y^2 - \sqrt{13}Y -2=0\) ⇒ \(Y = \frac{4\sqrt{13}}{13}\) и \(Y = -\frac{\sqrt{13}}{13}\). Приводим к каноническому виду: \((Y - \frac{3}{2\sqrt{13}})^2 = \frac{5}{4}\)? Ранее получили \((Y')^2 = \frac{5}{4}\)? Уточним: после выделения квадрата: \(13(Y - \frac{1}{2\sqrt{13}})^2 = \frac{9}{4}\) ⇒ \((Y - \frac{1}{2\sqrt{13}})^2 = \frac{9}{52}\). Таким образом, каноническое уравнение: \((Y')^2 = \frac{9}{52}\). * Каноническая система: начало на средней линии, ось \(X'\) вдоль \((3,2)\), ось \(Y'\) вдоль \((2,-3)\). --- ### 6) \(9x^2 - 4xy + 6y^2 + 16x - 8y - 2 = 0\) * \(I_1=15,\;I_2=50>0,\;I_3=-500\neq0\) ⇒ эллипс. * Центр: \(\begin{cases}18x-4y+16=0\\-4x+12y-8=0\end{cases}\) ⇒ \(x=-\frac{4}{5},\;y=\frac{2}{5}\). * Собственные числа: \(\lambda_1=10,\;\lambda_2=5\). * Каноническое уравнение: \(10X^2+5Y^2=10\) или \(X^2 + \frac{Y^2}{2}=1\). * Направления: для \(\lambda=10\) вектор \((2,-1)\), для \(\lambda=5\) вектор \((1,2)\). * Каноническая система: центр \(O'(-0.8,\;0.4)\), оси по \((2,-1)\) и \((1,2)\). --- ### 7) \(8x^2 + 6xy - 26x - 12y + 11 = 0\) * \(A=8,\;B=3,\;C=0\): \(I_1=8,\;I_2=-9<0,\;I_3=81\neq0\) ⇒ гипербола. * Центр: \(\begin{cases}16x+6y-26=0\\6x-12=0\end{cases}\) ⇒ \(x=2,\;y=-1\). * Собственные числа: \(\lambda_1=9,\;\lambda_2=-1\). * Каноническое уравнение: \(9X^2 - Y^2 = 9\) или \(X^2 - \frac{Y^2}{9}=1\). * Направления: для \(\lambda=9\) вектор \((3,1)\), для \(\lambda=-1\) вектор \((1,-3)\). * Каноническая система: центр \(O'(2,-1)\), оси по \((3,1)\) и \((1,-3)\). --- ### 8) \(x^2 - 2xy + y^2 - 10x - 6y + 25 = 0\) * \(I_1=2,\;I_2=0,\;I_3=-64\neq0\) ⇒ парабола. * Квадратичная форма: \((x-y)^2\). Собственные числа: \(\lambda_1=2,\;\lambda_2=0\) с векторами \((1,-1)\) и \((1,1)\). * Поворот: \(x=\frac{X+Y}{\sqrt2},\;y=\frac{X-Y}{\sqrt2}\). После подстановки и выделения квадрата получаем вершину \((2,1)\) и уравнение \((Y')^2 = 4\sqrt2 X'\). * Каноническая система: начало в \((2,1)\), ось \(X'\) вдоль \((1,1)\) (ось параболы), ось \(Y'\) вдоль \((1,-1)\). --- ### 9) \(2x^2 - 5xy - 12y^2 - x + 26y - 10 = 0\) * \(I_1=-10,\;I_2=-30.25<0,\;I_3=0\) ⇒ пара пересекающихся прямых. * Центр: \(\begin{cases}4x-5y-1=0\\-5x-24y+26=0\end{cases}\) ⇒ \(x=\frac{14}{11},\;y=\frac{9}{11}\). * Разложение: \((2x+3y-5)(x-4y+2)=0\). * После переноса: \(2X^2-5XY-12Y^2=0\). Собственные числа: \(\lambda_{1,2}=\frac{-10\pm\sqrt{221}}{2}\). Каноническое уравнение: \(\lambda_1 X'^2 + \lambda_2 Y'^2 = 0\). --- ### 10) \(4x^2 - 4xy + y^2 - 6x + 3y - 4 = 0\) * \(I_1=5,\;I_2=0,\;I_3=0\) ⇒ пара параллельных прямых. * Квадратичная форма: \((2x-y)^2\). Уравнение: \(u^2 -3u -4=0\) с \(u=2x-y\) ⇒ \(u=4,\;u=-1\). * Прямые: \(2x-y-4=0\) и \(2x-y+1=0\). * После поворота: собственные числа \(\lambda_1=0,\;\lambda_2=5\) с векторами \((1,2)\) и \((2,-1)\). В новых координатах получаем \((Y')^2 = \frac{5}{4}\). * Каноническая система: начало на средней линии, ось \(X'\) вдоль \((1,2)\), ось \(Y'\) вдоль \((2,-1)\). --- ### 11) \(2x^2 + 4xy + 5y^2 - 6x - 8y - 1 = 0\) * \(I_1=7,\;I_2=6>0,\;I_3=-35\neq0\) ⇒ эллипс. * Центр: \(\begin{cases}4x+4y-6=0\\4x+10y-8=0\end{cases}\) ⇒ \(x=\frac{7}{6},\;y=\frac{1}{3}\). * Собственные числа: \(\lambda_1=6,\;\lambda_2=1\). * Каноническое уравнение: \(6X^2 + Y^2 = \frac{35}{6}\) или \(\displaystyle\frac{X^2}{35/36}+\frac{Y^2}{35/6}=1\). * Направления: для \(\lambda=6\) вектор \((1,2)\), для \(\lambda=1\) вектор \((2,-1)\). * Каноническая система: центр \(O'(\frac{7}{6},\frac{1}{3})\), оси по \((1,2)\) и \((2,-1)\). --- ### 12) \(x^2 - 12xy - 4y^2 + 12x + 8y + 5 = 0\) * \(I_1=-3,\;I_2=-40<0,\;I_3=-360\neq0\) ⇒ гипербола. * Центр: \(\begin{cases}2x-12y+12=0\\-12x-8y+8=0\end{cases}\) ⇒ \(x=0,\;y=1\). * Собственные числа: \(\lambda_1=5,\;\lambda_2=-8\). * Каноническое уравнение: \(5X^2 -8Y^2 = -9\) или \(\displaystyle\frac{Y^2}{9/8}-\frac{X^2}{9/5}=1\). * Направления: для \(\lambda=5\) вектор \((3,-2)\), для \(\lambda=-8\) вектор \((2,3)\). * Каноническая система: центр \(O'(0,1)\), оси по \((3,-2)\) и \((2,3)\). --- **Ответы** приведены выше для каждого пункта.