Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. === Условие задачи === Написать уравнение эллипса, пересекающего ось \(Ox\) в точках \((1, 0)\) и \((9, 0)\) и касающегося оси \(Oy\) в точке \((0, 3)\), зная, что его оси параллельны осям координат. === Решение === Оси эллипса параллельны координатным осям, поэтому его уравнение имеет вид \[ \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1, \] где \((x_0, y_0)\) — центр эллипса, \(a\) и \(b\) — полуоси. **1. Определение центра по оси \(Ox\).** Эллипс пересекает ось \(Ox\) в точках \((1,0)\) и \((9,0)\). Эти точки симметричны относительно вертикальной прямой, проходящей через центр. Следовательно, \[ x_0 = \frac{1+9}{2} = 5. \] **2. Касание оси \(Oy\).** Эллипс касается вертикальной прямой \(x=0\) в точке \((0,3)\). Вертикальные касательные к эллипсу проходят через точки с абсциссами \(x = x_0 \pm a\). Так как центр находится справа от оси \(Oy\) (\(x_0 = 5 > 0\)), касание происходит слева, поэтому \[ x_0 - a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = x_0 = 5. \] В точке касания \((0,3)\) подставляем \(x=0\) в уравнение эллипса: \[ \frac{(0-5)^2}{25} + \frac{(y_1-y_0)^2}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 + \frac{(y_1-y_0)^2}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad y_1 = y_0. \] Таким образом, \(y_0 = 3\) и точка касания есть \((0, y_0) = (0,3)\). **3. Использование точек пересечения с осью \(Ox\).** Подставим точку \((1,0)\) (или \((9,0)\)) в уравнение: \[ \frac{(1-5)^2}{25} + \frac{(0-3)^2}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{16}{25} + \frac{9}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{9}{b^2} = \frac{9}{25} \quad \Rightarrow \quad b^2 = 25,\; b = 5. \] Получили \(a = b = 5\), значит, эллипс является окружностью радиуса \(5\) с центром \((5,3)\). **Ответ:** \[ \boxed{\frac{(x-5)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{25} = 1}. \]