Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. === Условие задачи === Доказать, что если \(\overline{OA}\) и \(\overline{OB}\) — отрезки взаимно перпендикулярных прямых, соединяющих центр эллипса \(O\) с двумя его точками \(A\) и \(B\), то \[ \frac{1}{|\overline{OA}|^2} + \frac{1}{|\overline{OB}|^2} \] есть величина постоянная. === Решение === Поместим эллипс в каноническую систему координат с центром в начале координат. Его уравнение: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a>0,\; b>0. \] Введём полярные координаты с полюсом в центре эллипса: \[ x = r\cos\varphi,\quad y = r\sin\varphi. \] Подставляя в уравнение эллипса, получим зависимость \(r\) от \(\varphi\): \[ \frac{r^2\cos^2\varphi}{a^2} + \frac{r^2\sin^2\varphi}{b^2} = 1, \] \[ r^2\left(\frac{\cos^2\varphi}{a^2} + \frac{\sin^2\varphi}{b^2}\right) = 1, \] \[ r^2(\varphi) = \frac{1}{\dfrac{\cos^2\varphi}{a^2} + \dfrac{\sin^2\varphi}{b^2}} = \frac{a^2b^2}{b^2\cos^2\varphi + a^2\sin^2\varphi}. \] Пусть точка \(A\) соответствует углу \(\varphi\), тогда \(|\overline{OA}|^2 = r^2(\varphi)\). Так как \(\overline{OA} \perp \overline{OB}\), то полярный угол точки \(B\) равен \(\varphi + \frac{\pi}{2}\) (или \(\varphi - \frac{\pi}{2}\)). Следовательно, \[ |\overline{OB}|^2 = r^2\!\left(\varphi+\frac{\pi}{2}\right) = \frac{a^2b^2}{b^2\cos^2\!\left(\varphi+\frac{\pi}{2}\right) + a^2\sin^2\!\left(\varphi+\frac{\pi}{2}\right)}. \] Используя \(\cos(\varphi+\frac{\pi}{2}) = -\sin\varphi\), \(\sin(\varphi+\frac{\pi}{2}) = \cos\varphi\), получаем: \[ |\overline{OB}|^2 = \frac{a^2b^2}{b^2\sin^2\varphi + a^2\cos^2\varphi}. \] Теперь вычислим требуемую сумму: \[ \frac{1}{|\overline{OA}|^2} + \frac{1}{|\overline{OB}|^2} = \frac{b^2\cos^2\varphi + a^2\sin^2\varphi}{a^2b^2} + \frac{b^2\sin^2\varphi + a^2\cos^2\varphi}{a^2b^2}. \] Складывая дроби, замечаем, что числитель равен \[ b^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi) + a^2(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi) = b^2 + a^2. \] Таким образом, \[ \frac{1}{|\overline{OA}|^2} + \frac{1}{|\overline{OB}|^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}. \] Полученное выражение не зависит от выбора точки \(A\) (и, следовательно, \(B\)), значит, оно является постоянной величиной для данного эллипса. **Что и требовалось доказать.**