Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Задача 674 ===== Дано преобразование координат: \[ \begin{cases} x = -2x' - y' - z' - 1,\\ y = -y' - z',\\ z = x' + 3y' + z' + 1. \end{cases} \] === 1) Выразить \(x', y', z'\) через \(x, y, z\) === Решаем систему линейных уравнений. Из второго уравнения: \[ y' + z' = -y. \] Подставляем в первое: \[ x + 1 = -2x' - (y' + z') = -2x' + y \quad\Rightarrow\quad 2x' = y - x - 1, \] \[ x' = \frac{y - x - 1}{2}. \] Из третьего уравнения: \[ z - 1 = x' + 3y' + z' = x' + (y' + z') + 2y' = x' - y + 2y', \] \[ 2y' = z - 1 - x' + y. \] Подставляем \(x'\): \[ 2y' = z - 1 - \frac{y - x - 1}{2} + y = \frac{2z - 2 - y + x + 1 + 2y}{2} = \frac{2z + x + y - 1}{2}, \] \[ y' = \frac{x + y + 2z - 1}{4}. \] Тогда из \(y' + z' = -y\): \[ z' = -y - y' = -y - \frac{x + y + 2z - 1}{4} = \frac{-4y - x - y - 2z + 1}{4} = \frac{-x - 5y - 2z + 1}{4}. \] Итак: \[ \boxed{ \begin{aligned} x' &= \frac{y - x - 1}{2},\\[4pt] y' &= \frac{x + y + 2z - 1}{4},\\[4pt] z' &= \frac{-x - 5y - 2z + 1}{4}. \end{aligned}} \] === 2) Координаты начала \(O'\) и базисных векторов \(\mathbf{e}_1', \mathbf{e}_2', \mathbf{e}_3'\) второй системы относительно первой === Начало \(O'\) получается при \(x'=y'=z'=0\): \[ x = -1,\; y = 0,\; z = 1 \quad\Rightarrow\quad O'(-1,0,1). \] Базисные векторы – коэффициенты при соответствующих переменных: \[ \mathbf{e}_1' = (-2, 0, 1),\quad \mathbf{e}_2' = (-1, -1, 3),\quad \mathbf{e}_3' = (-1, -1, 1). \] === 3) Координаты начала \(O\) и базисных векторов \(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\) первой системы относительно второй === Начало \(O\) в первой системе имеет координаты \((0,0,0)\). Подставляем в формулы из п.1: \[ x' = \frac{0 - 0 - 1}{2} = -\frac{1}{2},\quad y' = \frac{0+0+0-1}{4} = -\frac{1}{4},\quad z' = \frac{0 -0 -0 +1}{4} = \frac{1}{4}. \] Таким образом, координаты \(O\) во второй системе: \[ O\left(-\frac{1}{2},\; -\frac{1}{4},\; \frac{1}{4}\right). \] Для базисных векторов первой системы (в старой системе они имеют координаты \((1,0,0)\), \((0,1,0)\), \((0,0,1)\)) находим их координаты во второй системе как разность координат соответствующих точек и начала \(O\) (или линейную часть преобразования). Получаем: \[ \mathbf{e}_1 = \left(-\frac{1}{2},\; \frac{1}{4},\; -\frac{1}{4}\right),\quad \mathbf{e}_2 = \left(\frac{1}{2},\; \frac{1}{4},\; -\frac{5}{4}\right),\quad \mathbf{e}_3 = \left(0,\; \frac{1}{2},\; -\frac{1}{2}\right). \] Эти векторы можно также записать в виде: \[ \mathbf{e}_1 = \frac{1}{4}(-2, 1, -1),\quad \mathbf{e}_2 = \frac{1}{4}(2, 1, -5),\quad \mathbf{e}_3 = \frac{1}{2}(0, 1, -1). \]