Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. === Условие задачи === Найти угол между прямой \[ \begin{cases} x + y - z = 0, \\ 2x - 3y + z = 0, \end{cases} \] и плоскостью \[ 3x + 5y - 4z + 2 = 0. \] === Решение === **1. Направляющий вектор прямой** Прямая задана пересечением двух плоскостей с нормалями \[ \mathbf{n}_1 = (1, 1, -1), \quad \mathbf{n}_2 = (2, -3, 1). \] Направляющий вектор прямой \[ \mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = (-2, -3, -5) \parallel (2, 3, 5). \] Берём \(\mathbf{s} = (2, 3, 5)\) для удобства. **2. Нормальный вектор плоскости** \[ \mathbf{n} = (3, 5, -4). \] **3. Синус угла между прямой и плоскостью** Угол \(\varphi\) между прямой и плоскостью определяется соотношением \[ \sin\varphi = \frac{|\mathbf{s} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{s}|\,|\mathbf{n}|}. \] Вычисляем: \[ \mathbf{s} \cdot \mathbf{n} = 2\cdot3 + 3\cdot5 + 5\cdot(-4) = 6 + 15 - 20 = 1, \] \[ |\mathbf{s}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}, \] \[ |\mathbf{n}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+25+16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}, \] \[ \sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{38} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{76}} = \frac{1}{10\sqrt{19}}. \] **4. Угол** \[ \varphi = \arcsin\left(\frac{1}{10\sqrt{19}}\right). \] **Ответ:** \[ \boxed{\arcsin\dfrac{1}{10\sqrt{19}}}. \]