Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. === Условие задачи === Через точку \( (1, 2, 3) \) провести плоскость, перпендикулярную к плоскости \( 5x - 2y + 5z - 10 = 0 \) и образующую с плоскостью \( x - 4y - 8z + 12 = 0 \) угол \(\frac{\pi}{4}\). === Решение === Пусть искомая плоскость задаётся уравнением \[ Ax + By + Cz + D = 0. \] **1. Условие прохождения через точку** Подставляем точку \((1,2,3)\): \[ A + 2B + 3C + D = 0 \quad \Rightarrow \quad D = -A - 2B - 3C. \tag{1} \] **2. Условие перпендикулярности к плоскости \(P_1\)** Нормаль \(P_1\): \(\mathbf{n}_1 = (5, -2, 5)\). Перпендикулярность плоскостей означает \(\mathbf{n} \perp \mathbf{n}_1\): \[ 5A - 2B + 5C = 0. \tag{2} \] **3. Условие угла \(\pi/4\) с плоскостью \(P_2\)** Нормаль \(P_2\): \(\mathbf{n}_2 = (1, -4, -8)\). Косинус угла между плоскостями (берём модуль, угол острый): \[ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}| \, |\mathbf{n}_2|} = \frac{|A - 4B - 8C|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \cdot \sqrt{1+16+64}} = \frac{|A - 4B - 8C|}{9\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \tag{3} \] **4. Выражаем \(A\) через \(B, C\) из (2)** \[ 5A = 2B - 5C \quad \Rightarrow \quad A = \frac{2B - 5C}{5}. \] **5. Подстановка в (3)** Вычисляем числитель: \[ A - 4B - 8C = \frac{2B-5C}{5} - 4B - 8C = \frac{2B-5C -20B -40C}{5} = \frac{-18B -45C}{5} = -\frac{9(2B+5C)}{5}, \] модуль: \(\dfrac{9|2B+5C|}{5}\). Знаменатель: \[ \sqrt{A^2+B^2+C^2} = \sqrt{\left(\frac{2B-5C}{5}\right)^2 + B^2 + C^2} = \frac{1}{5}\sqrt{(2B-5C)^2 + 25B^2 + 25C^2} = \frac{1}{5}\sqrt{29B^2 -20BC +50C^2}. \] Подставляем в (3): \[ \frac{\dfrac{9|2B+5C|}{5}}{9\cdot\dfrac{1}{5}\sqrt{29B^2 -20BC +50C^2}} = \frac{|2B+5C|}{\sqrt{29B^2 -20BC +50C^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Возводим в квадрат: \[ \frac{(2B+5C)^2}{29B^2 -20BC +50C^2} = \frac12, \] \[ 2(2B+5C)^2 = 29B^2 -20BC +50C^2, \] \[ 8B^2 +40BC +50C^2 = 29B^2 -20BC +50C^2, \] \[ 0 = 21B^2 -60BC = 3B(7B -20C). \] **6. Находим решения** \[ B = 0 \quad \text{или} \quad 7B -20C = 0. \] **Случай 1:** \(B = 0\). Из (2): \(5A +5C = 0 \Rightarrow A = -C\). Выберем \(C = -1\) (чтобы \(A = 1\)), тогда \(A = 1\), \(B = 0\), \(C = -1\). По (1): \(D = -1 - 0 -3(-1) = 2\). Уравнение плоскости: \[ x - z + 2 = 0. \] **Случай 2:** \(7B -20C = 0 \Rightarrow B = \dfrac{20}{7}C\). Возьмём \(C = 7\), тогда \(B = 20\). Из (2): \(5A -40 +35 = 0 \Rightarrow 5A =5 \Rightarrow A =1\). По (1): \(D = -1 -40 -21 = -62\). Уравнение плоскости: \[ x + 20y + 7z -62 = 0. \] **Ответ:** \[ \boxed{x - z + 2 = 0 \quad\text{и}\quad x + 20y + 7z -62 = 0}. \]