Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ==== 537. ==== Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает её; в последнем случае найти точку пересечения прямой и плоскости. $\left.\begin{array}{l} 3x+5y-7z+16=0,\\ 2x-y+z-6=0, \end{array}\right\} ,\,\,\,\,5x-z-4=0;$ $\left.\begin{array}{l} 2x+3y+6z-10=0,\\ x+y+z+5=0, \end{array}\right\} ,\,\,\,\,y+4z+17=0;$ $\left.\begin{array}{l} x+2y+3z+8=0,\\ 5x+3y+z-16=0, \end{array}\right\} ,\,\,\,\,2x-y-4z-24=0.$ ----- Вектор задающий прямую найдём как нормаль нормалей первых двух плоскостей: $$\vec{a}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} 3 & 2 & \vec{e}_{x}\\ 5 & -1 & \vec{e}_{y}\\ -7 & 1 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|=12\vec{e}_{x}+11\vec{e}_{y}-13\vec{e}_{z}.$$ Рассмотрим теперь скалярное произведение с нормалью к плоскости: $\left(\vec{a},\vec{n}\right)=12\cdot5+11\cdot0+(-13)\cdot(-1)=73\neq0$ следовательно плоскость и прямая пересекаются. Во втором случае $$\vec{a}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & \vec{e}_{x}\\ 3 & 1 & \vec{e}_{y}\\ 6 & 1 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|=-3\vec{e}_{x}+4\vec{e}_{y}-1\vec{e}_{z}$$ и скалярное произведение: $\left(\vec{a},\vec{n}\right)=-3\cdot0+4\cdot1+(-1)\cdot4=0$ плоскость и прямая параллельны или совпадают. Проверим принадлежит ли любая точка прямой плоскости или нет? Если принадлежит, то система имеет решение: $$\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+6z-10=0,\\ x+y+z+5=0,\\ y+4z+17=0 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} 0x+1y+4z-20=0,\\ x+y+z+5=0,\\ y+4z+17=0 \end{array}\right.$$ Пришли к противоречию: с одной стороны $y+4z-20=0,$ а с другой $y+4z+17=0,$ значит система не имеет решения, следовательно, плоскости и прямая параллельны. В третьем случае: $$\vec{a}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & \vec{e}_{x}\\ 2 & 3 & \vec{e}_{y}\\ 3 & 1 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|=-7\vec{e}_{x}+14\vec{e}_{y}-7\vec{e}_{z}$$ и скалярное произведение: $\left(\vec{a},\vec{n}\right)=-7\cdot2+14\cdot(-1)+(-7)\cdot(-4)=0$ плоскость и прямая параллельны или совпадают. Проверяем на совместность уравнения: $$\left\{ \begin{array}{l} x+2y+3z+8=0,\\ 5x+3y+z-16=0,\\ 2x-y-4z-24=0 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+2y+3z+8=0,\\ 0x-7y-17z-56=0,\\ 0x-5y-10z-40=0 \end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{ \begin{array}{l} x+2y+3z+8=0,\\ 0x-7y-17z-56=0,\\ 0x-0y+(17\cdot\frac{5}{7}-10)z+56\cdot\frac{5}{7}-40=0 \end{array}\right.$$ Как видим решение есть, значит прямая принадлежит плоскости.