Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 520. Составить уравнения проекции прямой \[ \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z}{1}. \] из точки (1,2,1) на плоскость $y-2z+4=0$. Система координат аффинная. === Решение === 1. Прямая \( L \) задана каноническими уравнениями: \[ \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z}{1}. \] Её параметрические уравнения: \[ \begin{cases} x = 2 + 3t, \\ y = 1 - 2t, \\ z = t. \end{cases} \] 2. Найдем плоскость, проходящую через точку \( A(1,2,1) \) и прямую \( L \). Для этого возьмем точку \( B(2,1,0) \) на прямой и направляющий вектор \( \vec{s} = (3,-2,1) \). Вектор \( \overrightarrow{AB} = (1,-1,-1) \). Нормаль к искомой плоскости: \[ \vec{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (-3, -4, 1). \] Уравнение плоскости через точку \( A \) с нормалью \( \vec{n_1} \): \[ -3(x-1) -4(y-2) + (z-1) = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x+4y-z-10=0. \quad (1) \] 3. Заданная плоскость \( P \): \[ y - 2z + 4 = 0. \quad (2) \] 4. Проекция прямой \( L \) на плоскость \( P \) из центра \( A \) есть линия пересечения плоскостей (1) и (2). Решаем систему: \[ \begin{cases} 3x+4y-z-10=0, \\ y-2z+4=0. \end{cases} \] Выразим \( y \) из второго: \( y = 2z - 4 \), подставим в первое: \[ 3x + 4(2z-4) - z - 10 = 0 \Rightarrow 3x + 7z - 26 = 0 \Rightarrow x = \frac{26-7z}{3}. \] Параметризуем: пусть \( z = t \), тогда \[ x = \frac{26}{3} - \frac{7}{3}t, \quad y = 2t - 4. \] 5. Канонические уравнения проекции (используем точку \( (4,0,2) \), полученную при \( t=2 \)): \[ \frac{x-4}{-7} = \frac{y}{6} = \frac{z-2}{3}. \] **Ответ:** Уравнения проекции можно записать в виде системы \[ \boxed{\begin{cases} 3x+4y-z-10=0, \\ y-2z+4=0, \end{cases}} \] или в канонической форме \[ \boxed{\frac{x-4}{-7} = \frac{y}{6} = \frac{z-2}{3}}. \]