Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ==== 511. ==== Даны вершины тетраэдра: **A**$=(2,1,0)$, **B**$=(1,3,5)$, **C**$=(6,3,4)$, **D**$=(0,-7,8)$. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую **AB** и равноудаленной от вершин **C** и **D**. Система координат аффинная. ----- Эта задача аналогична задаче 510 с единственным изменением --- если раньше плоскость проходила через начало координат, то теперь нам надо сместить все точки на один и тот же вектор, например на вектор $\vec{a}=(2,1,0)$ перемещая точку **A** в начало координат: $$\vec{r}-\vec{a}=\alpha\left(\vec{b}-\vec{a}\right)+\beta\left(\frac{1}{2}\left(\vec{c}+\vec{d}\right)-\vec{a}\right)=\alpha\left(-1,2,5\right)+\beta\left(1,-3,6\right)=\left(x-2,y-1,z\right)$$ далее получим систему уравнений: $$-\alpha+\beta=x-2, 2\alpha-3\beta=y-1, 5\alpha+6\beta=z.$$ Следовательно, из первых двух выразим $\alpha$ и $\beta$ умножая первое на два и складывая со вторым получим $-\beta=2x+y-5$, а умножая на три и складывая вновь со вторым получим $-\alpha=3x+y-7$. Подставляя полученные значение в третье выражение получим соотношение $15x+5y-35+12x+6y+z-30=0$ и окончательно уравнение плоскости $27x+11y+z-65=0$. Быть может найти уравнение через определитель будет проще? Посмотрим. Воспользуемся выражением вычисления объёма, построенных на вершинах 4--х векторов: $$ \left|\begin{array}{cccc} x & x_{1} & x_{2} & x_{3}\\ y & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\ z & z_{1} & z_{2} & z_{3}\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=0. $$ Подставим значения: $$ \left|\begin{array}{cccc} x & 2 & 1 & 3\\ y & 1 & 3 & -2\\ z & 0 & 5 & 6\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=27x+11y+z-65=0,$$ где последняя точка $\frac{1}{2}(C+D)$. Теперь перейдём ко второму варианту когда вектор и плоскость не пересекаются, т.е. параллельны, тогда смешанное произведение $$\left(\vec{c}-\vec{d},\vec{b}-\vec{a},\vec{r}-\vec{a}\right)=0.$$