Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ==== 46.7. ==== Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей: а) $$A=\left( \begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array}\right) $$ при $\alpha\neq k\pi;$ ----- $$\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)=\lambda^{2}-2\lambda\cos\alpha+1=\left(\cos\alpha+\sqrt{\cos^{2}\alpha-1}-\lambda\right)\left(\cos\alpha-\sqrt{\cos^{2}\alpha-1}-\lambda\right)=\left(e^{i\alpha}-\lambda\right)\left(e^{-i\alpha}-\lambda\right).$$ $$A-e^{i\alpha}E=\left(\begin{array}{cc} \cos\alpha-e^{i\alpha} & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha-e^{i\alpha} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -i\sin\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & -i\sin\alpha \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} -i\sin\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & -i\sin\alpha\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 0 & -\sin\alpha\\ 0 & -i\sin\alpha\\ 1 & 0\\ -i & 1 \end{array}\right)$$ $$e_{1}=\left(1,-i\right)^{T}; \ \ e_{2}=\left(1,i\right)^{T}$$ Проверим ортогональность $$\left(e_{1},e_{2}\right)=1\cdot1+(-i)^{*}\cdot(i)=1-1=0.$$ Нормируем: $$f_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,-i\right)^{T}; \ \ f_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,i\right)^{T}$$ ==== б) ==== $$A=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc} 1+i & 1\\ -1 & 1-i \end{array}\right)$$ ----- $$\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)=\lambda^{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}\lambda+1=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+i\sqrt{\frac{2}{3}}-\lambda\right)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-i\sqrt{\frac{2}{3}}-\lambda\right),$$ $$A-e^{i\alpha}E=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc} i(1-\sqrt{2}) & 1\\ -1 & -i(1+\sqrt{2}) \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} i(1-\sqrt{2}) & 1\\ -1 & -i(1+\sqrt{2})\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & -i(1+\sqrt{2})\\ 1 & 0\\ -i(1-\sqrt{2}) & 1 \end{array}\right)$$ $$e_{1}=\left(1,-i(1-\sqrt{2})\right)^{T};e_{2}=\left(1,-i(1+\sqrt{2})\right)^{T}$$ Проверим ортогональность $$\left(e_{1},e_{2}\right)=1\cdot1+(-i(1-\sqrt{2}))^{*}\cdot(-i(1+\sqrt{2}))=1\cdot1+(1-\sqrt{2})\cdot(1+\sqrt{2})=1-1=0.$$ Нормируем: $$\left(e_{1},e_{1}\right)=1\cdot1+(-i(1-\sqrt{2}))^{*}\cdot(-i(1-\sqrt{2}))=1\cdot1+(1-\sqrt{2})^{2}=4-2\sqrt{2}.$$ $$\left(e_{2},e_{2}\right)=1\cdot1+(-i(1+\sqrt{2}))^{*}\cdot(-i(1+\sqrt{2}))=1\cdot1+(1+\sqrt{2})\cdot(1+\sqrt{2})=4+2\sqrt{2}.$$ $$f_{1}=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\left(1,-i(1-\sqrt{2})\right)^{T};f_{2}=\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\left(1,-i(1+\sqrt{2})\right)^{T}$$