Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Условие ===== 46.6. Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей: a) \[\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix};\] б) \[\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -\sqrt{2} \\ 1 & 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.\] ===== Решение ===== ==== а) ==== Матрица \(A = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&-1&2\\-1&2&2\end{pmatrix}\) симметрична и ортогональна, поэтому \(A^2=I\). Собственные значения: \(\lambda=1\) (кратность 2) и \(\lambda=-1\) (кратность 1). Найдём ортонормированный базис из собственных векторов. Для \(\lambda=1\): ядро \(A-I\) даёт векторы \((2,1,0)\) и \((-1,0,1)\). Ортогонализуем: \[ e_1 = \frac{(2,1,0)}{\sqrt{5}} = \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right), \] \[ e_2 = \frac{(-1,0,1) - \bigl((-1,0,1)\cdot e_1\bigr)e_1}{\| \cdots \|} = \frac{(-1,2,5)}{\sqrt{30}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{30}},\frac{2}{\sqrt{30}},\frac{5}{\sqrt{30}}\right). \] Для \(\lambda=-1\): собственный вектор \((1,-2,1)\), нормируем: \[ e_3 = \frac{(1,-2,1)}{\sqrt{6}} = \left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right). \] Базис \(\{e_1,e_2,e_3\}\) ортонормирован, матрица оператора в нём: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \] ==== б) ==== Матрица \(B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&-\sqrt{2}\\1&1&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&-\sqrt{2}&0\end{pmatrix}\) ортогональна, \(\det B =1\). Собственное значение \(\lambda=1\): решая \((B-I)x=0\), находим \(x=(1,1,0)\). Нормируем: \[ e_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right). \] Ортогональное дополнение \(\langle e_1\rangle^\perp\) задаётся условием \(x+y=0\). Выберем в нём ортонормированный базис, на котором \(B\) действует как поворот на \(90^\circ\): \[ f_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right), \qquad f_2 = (0,0,1). \] Проверка: \[ B f_1 = f_2,\quad B f_2 = -f_1. \] Базис \(\{e_1,f_1,f_2\}\) ортонормирован. Матрица оператора в этом базисе: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \] Это канонический вид (блок \(1\) и блок поворота на \(90^\circ\)). ==== в) ==== === Условие === 46.6. Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей: b) \[ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}. \] ===== Решение ===== Матрица \(A = \frac{1}{3} M\), где \(M = \begin{pmatrix}2&-1&2\\2&2&-1\\-1&2&2\end{pmatrix}\). Проверим ортогональность: \[ M^T M = 9I \quad\Rightarrow\quad A^T A = I. \] Определитель \(\det M = 27\) (вычисляется непосредственно), поэтому \(\det A = 1\). Следовательно, \(A\) — ортогональный оператор с определителем \(1\), т.е. поворот в \(\mathbb{R}^3\). ==== Собственное значение \(\lambda = 1\) ==== Собственный вектор: из \((A - I)x = 0\) получаем \(x = (1,1,1)\). Нормируем: \[ e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1). \] ==== Ортогональное дополнение \(e_1^\perp\) ==== Выберем произвольный ортонормированный базис в этой плоскости. Удобно взять: \[ e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0), \qquad e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2). \] Проверка: \((e_2, e_1)=0\), \((e_3, e_1)=0\), \((e_2, e_3)=0\), и \(\|e_2\|=\|e_3\|=1\). ==== Действие оператора на \(e_2, e_3\) ==== Вычислим \(A e_2\): \[ M e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} M(1,-1,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(3,0,-3) = \frac{3}{\sqrt{2}}(1,0,-1), \] \[ A e_2 = \frac{1}{3} M e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1). \] Разложим по базису \(\{e_2, e_3\}\): \[ \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1) = \cos\varphi\, e_2 + \sin\varphi\, e_3. \] Находим коэффициенты: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1), e_2\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1\cdot1 + 0\cdot(-1) + (-1)\cdot0) = \frac12, \] \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1), e_3\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}(1\cdot1 + 0\cdot1 + (-1)\cdot(-2)) = \frac{1}{\sqrt{12}}(1+2) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Таким образом, \(\cos\varphi = \frac12\), \(\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}\), т.е. \(\varphi = \frac{\pi}{3}\). Аналогично можно проверить, что \(A e_3 = -\sin\varphi\, e_2 + \cos\varphi\, e_3\). ==== Канонический базис и матрица ==== Ортонормированный канонический базис: \[ e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\quad e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),\quad e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2). \] В этом базисе матрица оператора имеет вид: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ 0 & \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12 \end{pmatrix}. \] Это и есть искомый канонический вид. ===== Общий алгоритм приведения ортогонального оператора к каноническому виду ===== Пусть задан ортогональный оператор \(A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) (или \( \mathbb{C}^n \), но в вещественном случае чаще рассматривают евклидово пространство). Матрица \(A\) в некотором ортонормированном базисе удовлетворяет \(A^T A = I\) (\(\det A = \pm 1\)). Требуется найти ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет блочно-диагональный канонический вид: \[ \begin{pmatrix} I_p & 0 & 0 & \dots \\ 0 & -I_q & 0 & \dots \\ 0 & 0 & R_{\varphi_1} & \dots \\ 0 & 0 & 0 & R_{\varphi_2} \\ & & & \ddots \end{pmatrix}, \quad R_{\varphi} = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}. \] ==== Шаг 1. Проверка ортогональности и нахождение собственных значений ==== Вычислить \(A^T A\) – должна получиться единичная матрица. Найти характеристический многочлен \(\det(A - \lambda I)\). Все его корни имеют модуль 1. Вещественные корни: \(\lambda = 1\) или \(\lambda = -1\). Комплексные корни разбиваются на пары \(e^{i\varphi}, e^{-i\varphi}\) (\(\varphi \neq 0,\pi\)). ==== Шаг 2. Обработка вещественных собственных значений ==== Для \(\lambda = 1\) найти собственное подпространство \(E_1 = \ker(A - I)\) и построить в нём ортонормированный базис. Аналогично для \(\lambda = -1\) найти \(E_{-1} = \ker(A + I)\) и ортонормированный базис. ==== Шаг 3. Обработка комплексных собственных значений ==== Если есть пара \(e^{\pm i\varphi}\) (\(\sin\varphi \neq 0\)), то выбираем один комплексный собственный вектор \(z = x + i y\) (\(x, y \in \mathbb{R}^n\)), соответствующий \(\lambda = e^{i\varphi}\). Тогда \(x\) и \(y\) линейно независимы, порождают инвариантную двумерную плоскость \(L\), ортогональную ко всем вещественным собственным подпространствам. На \(L\) оператор действует как поворот на угол \(\varphi\) (при ориентации, задаваемой парой \(x, y\)). Применим процесс Грама-Шмидта к \(x, y\): \(u_1 = \frac{x}{\|x\|}\), \(u_2 = \frac{y - (y,u_1)u_1}{\|y - (y,u_1)u_1\|}\). В базисе \((u_1, u_2)\) матрица ограничения будет \(\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}\). ==== Шаг 4. Объединение базисов ==== Объединяем ортонормированные базисы из шагов 2 и 3. Получим канонический базис всего пространства. В этом базисе матрица оператора – блочно-диагональная с блоками \(1\), \(-1\) и \(R_{\varphi}\). ==== Пример: матрица из задачи 46.6(б) ==== Матрица \(A = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&2\\2&2&-1\\-1&2&2\end{pmatrix}\). * Проверка: \(A^T A = I\), \(\det A = 1\). * Характеристический многочлен: \(\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(\lambda^2 - \lambda + 1)\). Корни: \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_{2,3} = e^{\pm i\pi/3}\). * Для \(\lambda=1\): собственный вектор \((1,1,1)\), нормируем \(e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\). * Пара \(e^{\pm i\pi/3}\) даёт поворот на \(60^\circ\) в плоскости, ортогональной \(e_1\). Выбираем любой ортонормированный базис этой плоскости, например \(e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)\), \(e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)\). Вычисляем образы: \[ A e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1) = \frac12 e_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} e_3,\quad A e_3 = -\frac{\sqrt{3}}{2} e_2 + \frac12 e_3. \] * Каноническая матрица в базисе \(\{e_1,e_2,e_3\}\): \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos60^\circ & -\sin60^\circ \\ 0 & \sin60^\circ & \cos60^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12 \end{pmatrix}. \] ==== Примечания ==== * Если оператор задан в эрмитовом пространстве \(\mathbb{C}^n\), то канонический базис составляется из собственных векторов (все собственные значения по модулю 1), матрица диагональна: \(\operatorname{diag}(e^{i\varphi_1}, \dots, e^{i\varphi_n})\). * В вещественном случае удобнее работать с вещественными векторами, поэтому пары комплексно-сопряжённых собственных значений заменяются вещественными блоками \(2\times2\).