Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Условие ===== В пространстве матриц \( M_n(\mathbb{C}) \) положим \[ (A, B) = \operatorname{tr}(A B^*), \] где \(B^* = \overline{B}^T\) — эрмитово сопряжённая матрица. Доказать, что: а) \( M_n(\mathbb{C}) \) — эрмитово пространство; б) всякая унитарная матрица в этом пространстве имеет длину \( \sqrt{n} \); в) операторы \( X \mapsto AX \) и \( X \mapsto A^*X \) в пространстве \( M_n(\mathbb{C}) \) сопряжены; г) оператор \( X \mapsto AX \), где \( A \) — унитарная матрица, является унитарным. ===== Решение ===== ==== а) Эрмитовость пространства ==== Проверим свойства эрмитова скалярного произведения. 1. **Линейность по первому аргументу**: \[ (\alpha A + \beta B, C) = \operatorname{tr}((\alpha A + \beta B)C^*) = \alpha\operatorname{tr}(A C^*) + \beta\operatorname{tr}(B C^*) = \alpha(A,C) + \beta(B,C). \] 2. **Сопряжённая симметрия**: \[ (B,A) = \operatorname{tr}(B A^*) = \operatorname{tr}((A B^*)^*) = \overline{\operatorname{tr}(A B^*)} = \overline{(A,B)}. \] 3. **Положительная определённость**: \[ (A,A) = \operatorname{tr}(A A^*) = \sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|^2 \ge 0, \] причём равенство достигается только когда все \(a_{ij}=0\), т.е. \(A=0\). Таким образом, \(M_n(\mathbb{C})\) является эрмитовым (унитарным) пространством. ==== б) Длина унитарной матрицы ==== Пусть \(U\) — унитарная матрица, т.е. \(U U^* = U^* U = I\). Тогда \[ \|U\| = \sqrt{(U,U)} = \sqrt{\operatorname{tr}(U U^*)} = \sqrt{\operatorname{tr}(I)} = \sqrt{n}. \] ==== в) Сопряжённые операторы ==== Рассмотрим операторы \(L_A: X \mapsto AX\) и \(L_{A^*}: X \mapsto A^*X\). Для любых \(X,Y\in M_n(\mathbb{C})\) имеем: \[ (L_A X, Y) = \operatorname{tr}(A X Y^*) = \operatorname{tr}(X Y^* A) = \operatorname{tr}(X (A^* Y)^*) = (X, L_{A^*} Y). \] Следовательно, \(L_A^* = L_{A^*}\), т.е. операторы сопряжены. ==== г) Унитарность оператора при унитарной \(A\) ==== Пусть \(A\) унитарна: \(A^* = A^{-1}\). Из пункта (в) получаем \[ L_A^* = L_{A^*} = L_{A^{-1}} = (L_A)^{-1}. \] Значит, \(L_A\) — унитарный оператор.