Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ====== Задача 44.9 ====== Пусть $V$ — пространство вещественных бесконечно дифференцируемых периодических функций периода $h>0$ со скалярным произведением \[ \langle f,g\rangle = \int_{0}^{h} f(x)g(x)\,dx. \] a) Найти оператор, сопряжённый к оператору дифференцирования $\mathcal{D}: f\mapsto f'$. ==== Решение ==== Для любых $f,g\in V$ вычислим $\langle \mathcal{D}f,g\rangle$: \[ \langle \mathcal{D}f,g\rangle = \int_{0}^{h} f'(x)g(x)\,dx. \] Интегрируем по частям: \[ \int_{0}^{h} f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x)\Big|_{0}^{h} - \int_{0}^{h} f(x)g'(x)\,dx. \] В силу периодичности $f(h)=f(0)$, $g(h)=g(0)$, поэтому внеинтегральный член обращается в ноль: \[ f(h)g(h)-f(0)g(0)=0. \] Следовательно, \[ \langle \mathcal{D}f,g\rangle = -\int_{0}^{h} f(x)g'(x)\,dx = \langle f, -\mathcal{D}g\rangle. \] По определению сопряжённого оператора $\langle \mathcal{D}f,g\rangle = \langle f,\mathcal{D}^*g\rangle$ для всех $f,g$. Сравнивая, получаем \[ \mathcal{D}^*g = -\mathcal{D}g. \] Таким образом, оператор, сопряжённый к $\mathcal{D}$, есть $-\mathcal{D}$. **Ответ:** $\mathcal{D}^* = -\mathcal{D}$.