Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. Ниже приведено условие задачи, а затем подробное решение. --- ## Условие задачи (43.36) Вычислить объём \(n\)-мерного параллелепипеда со сторонами: **a)** \( (1, -1, 1, -1),\quad (1, 1, 1, 1),\quad (1, 0, -1, 0),\quad (0, 1, 0, -1); \) **б)** \( (1, 1, 1, 1),\quad (1, -1, -1, 1),\quad (2, 1, 1, 3),\quad (0, 1, -1, 0). \) --- ## Решение Объём \(n\)-мерного параллелепипеда, натянутого на векторы \(v_1,\dots,v_n\) в евклидовом пространстве, равен квадратному корню из определителя Грама, но если векторы заданы координатами в ортонормированном базисе (и пространство \(\mathbb{R}^n\) со стандартным скалярным произведением), то объём равен абсолютной величине определителя матрицы, составленной из координат этих векторов (строки или столбцы). В обоих пунктах даны 4 вектора в \(\mathbb{R}^4\), поэтому объём вычисляется как \[ V = |\det A|, \] где \(A\) – матрица \(4\times 4\), строками которой являются данные векторы. --- ### a) Векторы: \[ v_1 = (1,\ -1,\ 1,\ -1),\quad v_2 = (1,\ 1,\ 1,\ 1),\quad v_3 = (1,\ 0,\ -1,\ 0),\quad v_4 = (0,\ 1,\ 0,\ -1). \] Матрица \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \] Вычислим определитель. Выполним элементарные преобразования строк, не меняющие определитель (вычитание строк): - Из второй строки вычтем первую: \(R_2 \leftarrow R_2 - R_1\); - Из третьей строки вычтем первую: \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\). Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \] Разложим определитель по первому столбцу (единственный ненулевой элемент \(a_{11}=1\)): \[ \det A = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \] Вычислим определитель матрицы \(3\times3\). Разложим по второму столбцу (в нём нули во второй и третьей строках): \[ \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = (-2)\cdot(-1)^{2+2}\det\begin{pmatrix}2 & 2\\ 1 & -1\end{pmatrix} = -2 \cdot \bigl(2\cdot(-1) - 2\cdot1\bigr) = -2 \cdot (-2 - 2) = -2 \cdot (-4) = 8. \] Таким образом, \[ \det A = 1 \cdot 8 = 8,\qquad V = |\det A| = 8. \] **Ответ для пункта а):** \(8\). --- ### б) Векторы: \[ v_1 = (1,\ 1,\ 1,\ 1),\quad v_2 = (1,\ -1,\ -1,\ 1),\quad v_3 = (2,\ 1,\ 1,\ 3),\quad v_4 = (0,\ 1,\ -1,\ 0). \] Матрица \(B\): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \] Преобразуем строки: - \(R_2 \leftarrow R_2 - R_1\): \( (0,\ -2,\ -2,\ 0)\); - \(R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1\): \( (0,\ -1,\ -1,\ 1)\); - \(R_4\) оставляем без изменений. Получаем: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -2 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \] Разложение по первому столбцу даёт: \[ \det B = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} -2 & -2 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \] Вычислим определитель \(3\times3\), разложив по третьему столбцу (элементы \(0,\ 1,\ 0\)): \[ \det\begin{pmatrix} -2 & -2 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-1)^{2+3}\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\ 1 & -1\end{pmatrix} = -1 \cdot \bigl((-2)\cdot(-1) - (-2)\cdot1\bigr) = -1 \cdot (2 + 2) = -4. \] Следовательно, \[ \det B = 1 \cdot (-4) = -4,\qquad V = |\det B| = 4. \] **Ответ для пункта б):** \(4\). --- ### Итоговый ответ а) \(8\); б) \(4\).