Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 415. Обратная к трёхдиагональной матрице ===== ==== Условие задачи ==== Обратить матрицу порядка $n$ $$A=\begin{pmatrix}1&-1&0&\dots&0&0\\-1&2&-1&\dots&0&0\\0&-1&2&\dots&0&0\\\vdots&&&&&\vdots\\0&0&0&\dots&2&-1\\0&0&0&\dots&-1&2\end{pmatrix}$$ (на диагонали $1,2,2,\dots,2$; над и под диагональю $-1$). ==== Решение ==== Метод элементарных преобразований: приписываем справа единичную матрицу, $(A\mid E)$, и преобразованиями строк приводим левую половину к $E$; справа получится $A^{-1}$. **Прямой ход.** Ко 2-й строке прибавим 1-ю, к 3-й — новую 2-ю, к 4-й — новую 3-ю и т.д. В левой половине каждый раз $-1$ под диагональю уничтожается, а $2$ на диагонали превращается в $1$. В правой половине $k$-я строка становится суммой первых $k$ строк единичной матрицы: $$\left(\begin{array}{ccccc|ccccc}1&-1&0&\dots&0&1&0&0&\dots&0\\0&1&-1&\dots&0&1&1&0&\dots&0\\0&0&1&\dots&0&1&1&1&\dots&0\\\vdots&&&&&\vdots&&&&\\0&0&0&\dots&1&1&1&1&\dots&1\end{array}\right)$$ **Обратный ход.** К $(n-1)$-й строке прибавим $n$-ю, к $(n-2)$-й — новую $(n-1)$-ю и т.д. Слева получится $E$, а справа $i$-я строка станет суммой строк правой половины с номерами $i,i+1,\dots,n$. В $j$-м столбце у этих строк единицы стоят в строках с номерами $k\ge j$, поэтому элемент на месте $(i,j)$ равен числу индексов $k$ с $k\ge i$ и $k\ge j$, то есть $$b_{ij}=n+1-\max(i,j).$$ $$A^{-1}=\begin{pmatrix}n&n-1&n-2&\dots&2&1\\n-1&n-1&n-2&\dots&2&1\\n-2&n-2&n-2&\dots&2&1\\\vdots&&&&&\vdots\\2&2&2&\dots&2&1\\1&1&1&\dots&1&1\end{pmatrix}.$$ Проверка при $n=3$: $$\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2&1\\2&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ //Замечание.// Прямой ход означает $LA=U$, где $L$ — нижнетреугольная матрица из единиц, $U$ — верхняя двухдиагональная. Отсюда $A^{-1}=U^{-1}L=L^{\mathsf T}L$. ==== Ответ ==== $A^{-1}=(b_{ij})$, $\ b_{ij}=n+1-\max(i,j)$.