Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ====== Задача 40.29 ====== Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей \[ A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \] ==== Решение ==== ==== 1. Характеристический многочлен и собственные значения ==== \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & -2 & 2 \\ 2 & -\lambda & 2 \\ -1 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 8\lambda + 4 = -(\lambda-1)(\lambda-2)^2. \] Собственные значения: \(\lambda_1 = 1\) (простое), \(\lambda_2 = 2\) (кратности 2). ==== 2. Собственные подпространства ==== * **Для \(\lambda = 1\):** Решаем \((A - I)v = 0\): \[ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = x_2,\\ x_2 + 2x_3 = 0. \end{cases} \] Собственный вектор: \(v_1 = (2,2,-1)\). \(E_1 = \operatorname{span}\{(2,2,-1)\}\) – одномерное подпространство. * **Для \(\lambda = 2\):** Решаем \((A - 2I)v = 0\): \[ \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow x_1 - x_2 + x_3 = 0. \] \(E_2 = \{(x_1,x_2,x_3) \mid x_1 - x_2 + x_3 = 0\}\) – двумерное подпространство. Базис: \(e_1 = (1,1,0)\), \(e_2 = (0,1,1)\). Так как геометрическая кратность \(\lambda=2\) равна алгебраической, оператор диагонализируем. На \(E_2\) он действует как умножение на 2, поэтому любое подпространство в \(E_2\) инвариантно. ==== 3. Все инвариантные подпространства ==== Пусть \(V = \mathbb{R}^3\). Инвариантные подпространства относительно \(A\): **Тривиальное:** \(\{0\}\). **Одномерные:** - прямая \(E_1 = \operatorname{span}\{(2,2,-1)\}\) (собственное значение 1); - любая прямая, лежащая в \(E_2\) (собственное значение 2). То есть все прямые, порождённые ненулевым вектором, удовлетворяющим \(x_1 - x_2 + x_3 = 0\). **Двумерные:** - само подпространство \(E_2\) (плоскость \(x_1 - x_2 + x_3 = 0\)); - любая плоскость, содержащая прямую \(E_1\) и какую-либо прямую из \(E_2\) (т.е. \(E_1 \oplus L\), где \(L\) – одномерное подпространство в \(E_2\)). В параметрическом виде: \(\operatorname{span}\{(2,2,-1),\, v\}\), где \(v \in E_2\), \(v \neq 0\). **Трёхмерное:** всё пространство \(V\). ==== 4. Ответ ==== Все инвариантные подпространства оператора с матрицей \(A\): 1. \(\{0\}\); 2. одномерные: \(\langle (2,2,-1) \rangle\) и \(\langle (a,b,c) \rangle\) для любого \((a,b,c) \neq 0\) с \(a - b + c = 0\); 3. двумерные: \(E_2 = \{(x,y,z) \mid x - y + z = 0\}\) и плоскости \(\langle (2,2,-1),\, v \rangle\) для любого ненулевого \(v \in E_2\); 4. всё пространство \(\mathbb{R}^3\).