Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ====== Задача 40.1 ====== Найти собственные векторы и собственные значения для следующих операторов: а) оператор дифференцирования $D$ в пространстве $\mathbb{R}[x]_n$ (многочлены степени не выше $n$); б) оператор $X \mapsto X^T$ в пространстве $M_n(\mathbb{R})$ (квадратные матрицы порядка $n$); в) оператор $x \dfrac{d}{dx}$ в пространстве $\mathbb{R}[x]_n$; г) оператор $\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt$ в пространстве $\mathbb{R}[x]_n$; д) оператор $f \mapsto \dfrac{d^n f}{dx^n}$ в линейной оболочке $\{1,\cos x,\sin x,\dots,\cos mx,\sin mx\}$; е) оператор $f \mapsto \displaystyle\int_{-x}^{x} f(t)\,dt$ в линейной оболочке $\{\cos x,\sin x,\dots,\cos mx,\sin mx\}$. ==== Решение ==== === а) Оператор дифференцирования $D$ в $\mathbb{R}[x]_n$ === Пусть $f(x)\in\mathbb{R}[x]_n$, $f(x)\neq 0$, и $Df=\lambda f$, т.е. $f'=\lambda f$. Общее решение: $f(x)=Ce^{\lambda x}$. Но $f$ – многочлен, поэтому такое возможно только при $\lambda=0$ (тогда $f$ – константа). Для $\lambda=0$ любая ненулевая константа является собственным вектором. При $\lambda\neq0$ функция $e^{\lambda x}$ не является многочленом, поэтому собственных векторов нет. Итак: - Собственное значение $\lambda=0$. - Собственные векторы: все ненулевые постоянные многочлены. === б) Оператор транспонирования $X\mapsto X^T$ в $M_n(\mathbb{R})$ === Уравнение $X^T = \lambda X$. Применив транспонирование ещё раз, получим $X = \lambda X^T = \lambda^2 X$, откуда $\lambda^2=1$, т.е. $\lambda=\pm1$. - При $\lambda=1$: $X^T = X$ – симметричные матрицы. Собственное подпространство имеет размерность $\frac{n(n+1)}{2}$. - При $\lambda=-1$: $X^T = -X$ – кососимметричные матрицы. Размерность $\frac{n(n-1)}{2}$. Все симметричные и кососимметричные матрицы (включая нулевую) являются собственными векторами для соответствующих $\lambda$. === в) Оператор $x\frac{d}{dx}$ в $\mathbb{R}[x]_n$ === Действие на моном: $x\frac{d}{dx}(x^k)=x\cdot k x^{k-1}=k x^k$. Следовательно, каждый моном $x^k$ ($k=0,1,\dots,n$) является собственным вектором с собственным значением $\lambda_k = k$. - Собственные значения: $0,1,2,\dots,n$. - Собственные векторы: ненулевые многочлены, пропорциональные $x^k$ (одномерные подпространства). === г) Оператор $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt$ в $\mathbb{R}[x]_n$ === Для $f(t)=t^k$: \[ \int_0^x t^k\,dt = \frac{x^{k+1}}{k+1}, \quad T(x^k)=\frac{1}{x}\cdot\frac{x^{k+1}}{k+1}=\frac{1}{k+1}\,x^k. \] Таким образом, каждый моном $x^k$ – собственный вектор с $\lambda_k = \dfrac{1}{k+1}$ ($k=0,1,\dots,n$). Все собственные значения различны, собственные подпространства одномерны. === д) Оператор $D^n$ ($n$-я производная) в пространстве тригонометрических многочленов === Рассмотрим пространство $V = \operatorname{span}\{1,\cos x,\sin x,\dots,\cos mx,\sin mx\}$ (размерность $2m+1$). Удобно перейти к комплексному базису $e^{ikx}$, $k=-m,\dots,m$. Тогда \[ \frac{d^n}{dx^n} e^{ikx} = (ik)^n e^{ikx}. \] В комплексификации $V_{\mathbb{C}}$: - Собственные значения $\lambda_k = (ik)^n$, $k=-m,\dots,m$. - Собственные векторы: $e^{ikx}$ (ненулевые). Для вещественного пространства $V$: - Если $n$ чётное, то $(ik)^n = (-1)^{n/2}k^n$ – вещественное число. Тогда $\cos(kx)$ и $\sin(kx)$ являются собственными векторами с тем же $\lambda = (-1)^{n/2}k^n$ (для $k=0$ даёт $\lambda=0$ при $n>0$, а $1$ – собственный вектор). - Если $n$ нечётное, то $(ik)^n = i\,(-1)^{(n-1)/2}k^n$ – чисто мнимое. В вещественном пространстве нет одномерных инвариантных подпространств; каждая пара $\{\cos(kx),\sin(kx)\}$ порождает двумерное инвариантное подпространство, на котором оператор действует как поворот с растяжением. Собственные значения в комплексификации: $\pm i\,(-1)^{(n-1)/2}k^n$. Частный случай $k=0$ (константа): при $n>0$ $D^n(1)=0$, т.е. $\lambda=0$ с собственным вектором $1$; при $n=0$ оператор тождественный, $\lambda=1$. === е) Оператор $Sf(x)=\int_{-x}^{x} f(t)\,dt$ в пространстве $W=\operatorname{span}\{\cos x,\sin x,\dots,\cos mx,\sin mx\}$ === Для чётных функций интеграл по симметричному промежутку удваивается, для нечётных равен нулю: \[ \int_{-x}^{x} \cos(kt)\,dt = 2\int_0^x \cos(kt)\,dt = \frac{2}{k}\sin(kx),\qquad \int_{-x}^{x} \sin(kt)\,dt = 0. \] Оператор не меняет частоту $k$ и действует на паре $(\cos kx,\sin kx)$ по правилу: \[ S(\cos kx)=\frac{2}{k}\sin kx,\quad S(\sin kx)=0. \] Матрица в базисе $\{\cos kx,\sin kx\}$: $\begin{pmatrix}0&0\\2/k&0\end{pmatrix}$, она нильпотентна (квадрат равен нулю). Собственное значение только $\lambda=0$. Собственные векторы – ядро оператора: \[ \ker S = \operatorname{span}\{\sin kx \mid k=1,\dots,m\}. \] Любая линейная комбинация $\sum_{k=1}^m b_k\sin(kx)$ является собственным вектором для $\lambda=0$. Других собственных значений нет.