Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Задача 38.17 ===== **Условие.** Эквивалентны ли над полем вещественных чисел квадратичные функции: а) \(x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 5x_3^2\) и \(x_1^2 - 4x_1x_2 + 2x_1x_3 + 4x_2^2 + x_3^2\); б) \(2x_1^2 + 9x_2^2 + 3x_3^2 + 8x_1x_2 - 4x_1x_3 - 10x_2x_3\) и \(2x_1^2 + 3x_2^2 + 6x_3^2 - 4x_1x_2 - 4x_1x_3 + 8x_2x_3\)? --- === Решение === Две квадратичные формы над \(\mathbb{R}\) эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые ранг и сигнатуру (закон инерции Сильвестра). Для каждой формы составим симметрическую матрицу \(A\) (на диагонали – коэффициенты при квадратах, вне диагонали – половины коэффициентов при смешанных членах) и приведём её к каноническому виду методом Лагранжа. === а) Первая форма === \[ Q_1 = x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 5x_3^2. \] Матрица: \[ A_1 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}. \] Выделяем полные квадраты: \[ \begin{aligned} Q_1 &= (x_1^2 - 2x_1x_2) + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 5x_3^2 \\ &= (x_1 - x_2)^2 - x_2^2 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 5x_3^2 \\ &= (x_1 - x_2)^2 + x_2^2 + 4x_2x_3 + 5x_3^2 \\ &= (x_1 - x_2)^2 + (x_2 + 2x_3)^2 - 4x_3^2 + 5x_3^2 \\ &= (x_1 - x_2)^2 + (x_2 + 2x_3)^2 + x_3^2. \end{aligned} \] Канонический вид: \(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2\). Ранг = 3, сигнатура = (3,0). === а) Вторая форма === \[ Q_2 = x_1^2 - 4x_1x_2 + 2x_1x_3 + 4x_2^2 + x_3^2. \] Матрица: \[ A_2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Выделяем квадрат по \(x_1\): \[ \begin{aligned} Q_2 &= (x_1^2 - 4x_1x_2 + 2x_1x_3) + 4x_2^2 + x_3^2 \\ &= (x_1 - 2x_2 + x_3)^2 - ( -4x_2x_3? ) \quad\text{проверим:}\\ (x_1 - 2x_2 + x_3)^2 &= x_1^2 + 4x_2^2 + x_3^2 -4x_1x_2 + 2x_1x_3 -4x_2x_3, \\ \text{отсюда}\quad Q_2 &= (x_1 - 2x_2 + x_3)^2 + 4x_2x_3. \end{aligned} \] Оставшийся член \(4x_2x_3\) преобразуем заменой \(u = x_2 + x_3\), \(v = x_2 - x_3\): \[ 4x_2x_3 = u^2 - v^2. \] Тогда \[ Q_2 = (x_1 - 2x_2 + x_3)^2 + u^2 - v^2, \] что после линейной замены переменных даёт канонический вид \[ y_1^2 + y_2^2 - y_3^2. \] Ранг = 3, сигнатура = (2,1). Поскольку сигнатуры различны, формы не эквивалентны. **Ответ для а):** нет. === б) Первая форма === \[ Q_1 = 2x_1^2 + 9x_2^2 + 3x_3^2 + 8x_1x_2 - 4x_1x_3 - 10x_2x_3. \] Матрица: \[ B_1 = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 4 & 9 & -5 \\ -2 & -5 & 3 \end{pmatrix}. \] Вычисляем определитель: \[ \det B_1 = 2(9\cdot3 - (-5)(-5)) - 4(4\cdot3 - (-5)(-2)) + (-2)(4\cdot(-5) - 9\cdot(-2)) = 2(27-25) -4(12-10) -2(-20+18) = 4 - 8 + 4 = 0. \] Минор \(2\times2\) из первых двух строк и столбцов: \(\begin{vmatrix}2&4\\4&9\end{vmatrix}=18-16=2\neq0\), значит, ранг = 2. Приведём к каноническому виду: \[ \begin{aligned} Q_1 &= 2x_1^2 + 8x_1x_2 - 4x_1x_3 + 9x_2^2 -10x_2x_3 + 3x_3^2 \\ &= 2\bigl[(x_1 + 2x_2 - x_3)^2 - (2x_2 - x_3)^2\bigr] + 9x_2^2 -10x_2x_3 + 3x_3^2 \\ &= 2(x_1+2x_2-x_3)^2 - 2(4x_2^2 -4x_2x_3 + x_3^2) + 9x_2^2 -10x_2x_3 + 3x_3^2 \\ &= 2(x_1+2x_2-x_3)^2 + ( -8+9)x_2^2 + (8-10)x_2x_3 + (-2+3)x_3^2 \\ &= 2(x_1+2x_2-x_3)^2 + x_2^2 - 2x_2x_3 + x_3^2 \\ &= 2(x_1+2x_2-x_3)^2 + (x_2 - x_3)^2. \end{aligned} \] Канонический вид: \(2y_1^2 + y_2^2\), ранг = 2, сигнатура = (2,0). === б) Вторая форма === \[ Q_2 = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 6x_3^2 - 4x_1x_2 - 4x_1x_3 + 8x_2x_3. \] Матрица: \[ B_2 = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 6 \end{pmatrix}. \] Приведём к каноническому виду: \[ \begin{aligned} Q_2 &= 2x_1^2 - 4x_1x_2 - 4x_1x_3 + 3x_2^2 + 8x_2x_3 + 6x_3^2 \\ &= 2\bigl[(x_1 - x_2 - x_3)^2 - (x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3)\bigr] + 3x_2^2 + 8x_2x_3 + 6x_3^2 \\ &= 2(x_1 - x_2 - x_3)^2 - 2x_2^2 - 2x_3^2 - 4x_2x_3 + 3x_2^2 + 8x_2x_3 + 6x_3^2 \\ &= 2(x_1 - x_2 - x_3)^2 + ( -2+3)x_2^2 + (-2+6)x_3^2 + (-4+8)x_2x_3 \\ &= 2(x_1 - x_2 - x_3)^2 + x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_2x_3 \\ &= 2(x_1 - x_2 - x_3)^2 + (x_2 + 2x_3)^2. \end{aligned} \] Канонический вид: \(2z_1^2 + z_2^2\), ранг = 2, сигнатура = (2,0). --- Обе формы имеют одинаковые ранг (2) и сигнатуру (2,0), следовательно, они эквивалентны. **Ответ для б):** да.