Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Задача 38.19 ===== **Условие.** Эквивалентны ли над полем комплексных чисел квадратичные функции: а) \(x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_1x_4 + x_2^2 + 2x_2x_3 - 4x_2x_4 + x_3^2 - 2x_4^2\) и \(x_1^2 + x_1x_2 + x_3x_4\); б) \(x_1^2 + 4x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3\) и \(x_1^2 + 2x_2^2 - x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 - 4x_2x_3\)? --- === Решение === Над полем комплексных чисел две квадратичные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый **ранг** (сигнатура не имеет значения, так как можно умножать на комплексные числа, меняя знаки). Для каждой формы составим симметрическую матрицу и найдём её ранг. === а) === **Первая форма:** \(Q_1 = x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_1x_4 + x_2^2 + 2x_2x_3 - 4x_2x_4 + x_3^2 - 2x_4^2\). Матрица \(A\) (диагональные элементы – коэффициенты при квадратах, внедиагональные – половины коэффициентов при смешанных членах): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & -2 \end{pmatrix}. \] Вычислим определитель. Приведём матрицу к треугольному виду, выполняя операции со строками и соответствующими столбцами (сохраняя симметрию) или разложим по первому столбцу. Первый столбец имеет ненулевой элемент \(a_{11}=1\) и нули после преобразований. После вычитания первой строки из остальных (с соответствующими изменениями столбцов) получим подматрицу 3×3, определитель которой равен нулю. Проще вычислить минор: Минор 3×3 из первых трёх строк и столбцов: \[ \det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = -4 \neq 0, \] следовательно, ранг не меньше 3. Определитель всей матрицы: \[ \det A = 0 \] (проверяется, например, разложением по первому столбцу). Значит, \(\operatorname{rank} A = 3\). **Вторая форма:** \(Q_2 = x_1^2 + x_1x_2 + x_3x_4\). Матрица \(B\): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}. \] Определитель блочно-диагональной матрицы: \[ \det B = \left(1\cdot 0 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \left(0\cdot 0 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} \neq 0, \] следовательно, \(\operatorname{rank} B = 4\). Ранги различны (3 и 4), поэтому формы не эквивалентны над \(\mathbb{C}\). **Ответ для а):** не эквивалентны. === б) === **Первая форма:** \(Q_1 = x_1^2 + 4x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3\). Матрица \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] \[ \det A = 1\cdot(4\cdot1 - 0\cdot0) - 2\cdot(2\cdot1 - 0\cdot(-1)) + (-1)\cdot(2\cdot0 - 4\cdot(-1)) = 4 - 4 + 4 = 4 \neq 0, \] \(\operatorname{rank} A = 3\). **Вторая форма:** \(Q_2 = x_1^2 + 2x_2^2 - x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 - 4x_2x_3\). Матрица \(B\): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}. \] \[ \det B = 1\cdot(2\cdot(-1) - (-2)\cdot(-2)) - 2\cdot(2\cdot(-1) - (-2)\cdot(-1)) + (-1)\cdot(2\cdot(-2) - 2\cdot(-1)) = \\ = 1\cdot(-2 - 4) - 2\cdot(-2 - 2) + (-1)\cdot(-4 + 2) = -6 - 2\cdot(-4) + (-1)\cdot(-2) = -6 + 8 + 2 = 4 \neq 0, \] \(\operatorname{rank} B = 3\). Обе формы невырождены и имеют одинаковый ранг 3. Над полем комплексных чисел любые две невырожденные квадратичные формы от трёх переменных эквивалентны (приводятся к сумме трёх квадратов с единичными коэффициентами). **Ответ для б):** эквивалентны.