Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Задача 35.22 ===== Пусть \( U \) — подпространство кососимметрических матриц, \( V \) — подпространство верхнетреугольных матриц в \( M_n(\mathbb{R}) \). **а)** Доказать, что \( U \oplus V = M_n(\mathbb{R}) \). **б)** Найти проекцию матриц \( E_{ij} \) на \( U \) и \( V \). --- ==== Решение ==== === а) Прямая сумма === Кососимметрическая матрица \( A \) удовлетворяет \( A^T = -A \), в частности \( a_{ii}=0 \), \( a_{ij} = -a_{ji} \) для \( i\neq j \). Верхнетреугольная матрица \( B \) удовлетворяет \( b_{ij}=0 \) при \( i>j \). * **Пересечение \( U \cap V \):** Если матрица одновременно кососимметрическая и верхнетреугольная, то для \( i>j \) имеем \( a_{ij}=0 \) (из верхнетреугольности) и \( a_{ji} = -a_{ij}=0 \). Для \( i<j \) из кососимметричности \( a_{ij} = -a_{ji} = 0 \). Диагональные элементы равны нулю. Следовательно, матрица нулевая. Таким образом, \( U \cap V = \{0\} \). * **Размерности:** \( \dim U = \frac{n(n-1)}{2} \) (независимые элементы над диагональю), \( \dim V = \frac{n(n+1)}{2} \) (все элементы на диагонали и выше). Сумма размерностей равна \( n^2 = \dim M_n(\mathbb{R}) \). Поскольку \( U+V \subseteq M_n(\mathbb{R}) \) и размерности складываются, получаем \( U \oplus V = M_n(\mathbb{R}) \). Конструктивно: для произвольной матрицы \( A \) разложение \( A = U_A + V_A \) с \( U_A\in U \), \( V_A\in V \) задаётся формулами: \[ u_{ij} = \begin{cases} a_{ij}, & i>j,\\ -a_{ji}, & i<j,\\ 0, & i=j, \end{cases} \qquad v_{ij} = \begin{cases} 0, & i>j,\\ a_{ii}, & i=j,\\ a_{ij}+a_{ji}, & i<j. \end{cases} \] Непосредственная проверка показывает, что \( U_A \) кососимметрична, \( V_A \) верхнетреугольна и \( A = U_A + V_A \). --- === б) Проекции матричных единиц === Матричная единица \( E_{ij} \) имеет 1 на пересечении \( i \)-й строки и \( j \)-го столбца, остальные элементы нули. Используя формулы разложения, получаем: * **Проекция на \( U \) (кососимметрическую часть) параллельно \( V \):** \[ P_U(E_{ij}) = \begin{cases} E_{ij}, & i>j,\\ 0, & i\le j. \end{cases} \] * **Проекция на \( V \) (верхнетреугольную часть) параллельно \( U \):** \[ P_V(E_{ij}) = \begin{cases} E_{ij}, & i\le j,\\ 0, & i>j. \end{cases} \] Иначе говоря, - для \( i=j \): \( P_U(E_{ii})=0 \), \( P_V(E_{ii})=E_{ii} \); - для \( i<j \): \( P_U(E_{ij})=0 \), \( P_V(E_{ij})=E_{ij} \); - для \( i>j \): \( P_U(E_{ij})=E_{ij} \), \( P_V(E_{ij})=0 \). --- ==== Ответ ==== **а)** \( M_n(\mathbb{R}) = U \oplus V \). **б)** \[ P_U(E_{ij}) = \begin{cases} E_{ij}, & i>j,\\ 0, & i\le j, \end{cases} \qquad P_V(E_{ij}) = \begin{cases} E_{ij}, & i\le j,\\ 0, & i>j. \end{cases} \]