Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. Для нахождения системы линейных уравнений, задающей линейную оболочку векторов \(\langle (1, -1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1) \rangle\) в \(\mathbb{R}^4\), необходимо определить однородную систему, множество решений которой совпадает с этой оболочкой. Данные векторы линейно зависимы, так как \((2,0,1,1) = (1,-1,1,0) + (1,1,0,1)\), поэтому размерность оболочки равна 2. Тогда ортогональное дополнение (в смысле стандартного скалярного произведения) имеет размерность \(4-2=2\). Найдём базис этого ортогонального дополнения, решив систему уравнений \((v_i, x) = 0\) для \(i=1,2,3\): \[ \begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 0, \\ x_1 + x_2 + x_4 = 0, \\ 2x_1 + x_3 + x_4 = 0. \end{cases} \] Приводим матрицу к ступенчатому виду: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Общее решение: \[ x_1 = -\frac{x_3 + x_4}{2}, \quad x_2 = \frac{x_3 - x_4}{2}, \quad x_3, x_4 \in \mathbb{R}. \] Базисные векторы ортогонального дополнения (после умножения на 2 для целочисленности): \[ w_1 = (-1, 1, 2, 0), \quad w_2 = (-1, -1, 0, 2). \] Тогда исходная оболочка задаётся условиями ортогональности этим векторам: \[ \begin{cases} (-1, 1, 2, 0) \cdot x = 0, \\ (-1, -1, 0, 2) \cdot x = 0, \end{cases} \] или, после упрощения, \[ \begin{cases} x_1 - x_2 - 2x_3 = 0, \\ x_1 + x_2 - 2x_4 = 0. \end{cases} \] Проверка показывает, что все три исходных вектора удовлетворяют этой системе, и она задаёт двумерное подпространство, совпадающее с их линейной оболочкой. **Ответ:** \[ \boxed{\begin{cases} x_1 - x_2 - 2x_3 = 0, \\ x_1 + x_2 - 2x_4 = 0. \end{cases}} \]