Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ==== 35.19. ==== Пусть в пространстве $\mathbb{R}^{4}$: $$ U=\left\langle (1,1,1,1),(-1,-2,0,1)\right\rangle , V=\left\langle (-1,-1,1,-1),(2,2,0,1)\right\rangle . $$ Доказать, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, и найти проекцию вектора $\boldsymbol{x}=(4,2,4,4)$ на подпространство $U$ параллельно $V$. ----- Запишем матрицу и приведём её к диагональному виду $$ \left(\begin{array}{ccccc} u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\ 1 & -1 & -1 & 2 & 4\\ 1 & -2 & -1 & 2 & 2\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 4\\ 1 & 1 & -1 & 1 & 4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & -1 & 2 & 4\\ 0 & -1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)\to $$ $$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -1 & 2 & 6\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -4 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc} u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right). $$ в итоги получили, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, а вектор $\boldsymbol{x}$ выражается через остальные как $x=u_{1}+2u_{2}+3v_{1}+4v_{2}$, тогда его проекция на подпространство $U$ параллельно $V$ $x|_{U}=u_{1}+2u_{2}=(1,2,0,0)$.