Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 320. Определитель: нули на диагонали, единицы вне её ===== ==== Условие задачи ==== Вычислить определитель порядка $n$ $$\begin{vmatrix}0&1&1&\dots&1\\1&0&1&\dots&1\\1&1&0&\dots&1\\\vdots&&&&\vdots\\1&1&1&\dots&0\end{vmatrix}.$$ ==== Решение ==== Сумма элементов каждой строки равна $n-1$. Прибавим к первому столбцу все остальные и вынесем общий множитель $n-1$: $$D=(n-1)\begin{vmatrix}1&1&1&\dots&1\\1&0&1&\dots&1\\1&1&0&\dots&1\\\vdots&&&&\vdots\\1&1&1&\dots&0\end{vmatrix}.$$ Теперь вычтем первую строку из всех остальных: $$D=(n-1)\begin{vmatrix}1&1&1&\dots&1\\0&-1&0&\dots&0\\0&0&-1&\dots&0\\\vdots&&&&\vdots\\0&0&0&\dots&-1\end{vmatrix}=(n-1)(-1)^{n-1}.$$ Проверка: $n=2$: $\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1$; $n=3$: $\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}=2$. Это частный случай задачи [[321|321]] при $x=0$, $a=1$. ==== Ответ ==== $(-1)^{n-1}(n-1)$.