Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 279. Определитель с ортогональными строками ===== ==== Условие задачи ==== Вычислить определитель $$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\-2&1&-4&3\\3&-4&-1&2\\4&3&-2&-1\end{vmatrix}.$$ ==== Решение ==== **Способ 1 (умножение на транспонированную).** Обозначим матрицу через $A$. Скалярный квадрат каждой строки равен $1+4+9+16=30$, а разные строки попарно ортогональны, например $$(1,2,3,4)\cdot(-2,1,-4,3)=-2+2-12+12=0,\qquad (1,2,3,4)\cdot(3,-4,-1,2)=3-8-3+8=0$$ (остальные четыре пары проверяются так же). Значит $AA^{\mathsf T}=30E$, откуда $$(\det A)^2=\det(AA^{\mathsf T})=30^4,\qquad \det A=\pm900.$$ Знак: матрица имеет вид $\begin{pmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\c&-d&-a&b\\d&c&-b&-a\end{pmatrix}$, её определитель — многочлен от $a,b,c,d$, равный $\pm(a^2+b^2+c^2+d^2)^2$ с одним и тем же знаком при всех значениях. При $a=1$, $b=c=d=0$ получаем $\operatorname{diag}(1,1,-1,-1)$ с определителем $+1$. Значит знак «плюс». **Способ 2 (прямой, приведением к треугольному виду).** Ко второй строке прибавим $2\cdot$(1-ю), из третьей вычтем $3\cdot$(1-ю), из четвёртой — $4\cdot$(1-ю): $$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\0&5&2&11\\0&-10&-10&-10\\0&-5&-14&-17\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}5&2&11\\-10&-10&-10\\-5&-14&-17\end{vmatrix} =-10\begin{vmatrix}5&2&11\\1&1&1\\-5&-14&-17\end{vmatrix}.$$ К третьей строке прибавим первую, затем из первой вычтем $5\cdot$(2-ю): $$-10\begin{vmatrix}0&-3&6\\1&1&1\\0&-12&-6\end{vmatrix} =-10\cdot(-1)\begin{vmatrix}-3&6\\-12&-6\end{vmatrix}=10\,(18+72)=900.$$ ==== Ответ ==== $900$.