Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 267. Тождество для определителя с суммами столбцов ===== ==== Условие задачи ==== Доказать, что $$\begin{vmatrix}b+c&c+a&a+b\\b_1+c_1&c_1+a_1&a_1+b_1\\b_2+c_2&c_2+a_2&a_2+b_2\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a&b&c\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}.$$ ==== Решение ==== Обозначим через $D(x,y,z)$ определитель со столбцами $x,y,z$ (это полилинейная и кососимметричная функция столбцов). Тогда левая часть равна $D(b{+}c,\,c{+}a,\,a{+}b)$. Раскрывая по полилинейности на $2^3=8$ слагаемых вида $D(\cdot,\cdot,\cdot)$, все слагаемые с повторяющимся столбцом обращаются в нуль (определитель с двумя одинаковыми столбцами равен $0$), и остаются только два: $$D(b,c,a)+D(c,a,b).$$ Оба — циклические перестановки столбцов $(a,b,c)$, а циклическая перестановка трёх элементов чётна (равносильна двум транспозициям), поэтому $D(b,c,a)=D(c,a,b)=D(a,b,c)$. Значит $$D(b{+}c,c{+}a,a{+}b)=D(a,b,c)+D(a,b,c)=2D(a,b,c),$$ что и требовалось доказать. ==== Ответ ==== Тождество доказано (обе части равны $2D(a,b,c)$).