math:231 [Математические заметки]

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

===== 231. Определители второго порядка =====

==== Условие задачи ====
Вычислить определители:

a) $\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}$;  b) $\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix}$;  c) $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha\\-\cos\alpha&\sin\alpha\end{vmatrix}$;  d) $\begin{vmatrix}a&c+di\\c-di&b\end{vmatrix}$;  e) $\begin{vmatrix}a+bi&c+d\\-c+di&a-bi\end{vmatrix}$;

f) $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha\\\sin\beta&\cos\beta\end{vmatrix}$;  g) $\begin{vmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\\sin\beta&\cos\beta\end{vmatrix}$;  h) $\begin{vmatrix}\operatorname{tg}\alpha&-1\\1&\operatorname{tg}\alpha\end{vmatrix}$;  i) $\begin{vmatrix}1+\sqrt2&2-\sqrt5\\2+\sqrt5&1-\sqrt2\end{vmatrix}$;

j) $\begin{vmatrix}\cos\varphi+i\sin\varphi&1\\1&\cos\varphi-i\sin\varphi\end{vmatrix}$;  k) $\begin{vmatrix}a+b&b+d\\a+c&c+d\end{vmatrix}$;  l) $\begin{vmatrix}a+b&a-b\\a-b&a+b\end{vmatrix}$;  m) $\begin{vmatrix}x-1&1\\x^3&x^2+x+1\end{vmatrix}$;  n) $\begin{vmatrix}\varepsilon&1\\-1&\varepsilon\end{vmatrix}$, где $\varepsilon=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3$.

(В условии e) в правом верхнем углу напечатано $c+d$; по-видимому, имелось в виду $c+di$ — разобраны оба варианта.)

==== Решение ====
Во всех пунктах $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.

**a)** $8-3=5$.  **b)** $4+1=5$.  **c)** $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

**d)** $ab-(c+di)(c-di)=ab-(c^2+d^2)$ — вещественное число, хотя элементы комплексные (матрица эрмитова).

**e)** При $c+di$: $(a+bi)(a-bi)-(c+di)(-c+di)=a^2+b^2-(-c^2-d^2)=a^2+b^2+c^2+d^2$. Если буквально $c+d$: $a^2+b^2-(c+d)(-c+di)=a^2+b^2+c^2+cd-(cd+d^2)i$.

**f)** $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)$.

**g)** $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)$.

**h)** $\operatorname{tg}^2\alpha+1=\dfrac1{\cos^2\alpha}$.

**i)** $(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)-(2-\sqrt5)(2+\sqrt5)=(1-2)-(4-5)=0$.

**j)** $(\cos\varphi+i\sin\varphi)(\cos\varphi-i\sin\varphi)-1=\cos^2\varphi+\sin^2\varphi-1=0$.

**k)** $(a+b)(c+d)-(b+d)(a+c)=ac+bd-ab-cd=a(c-b)-d(c-b)=(a-d)(c-b)$.

**l)** $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$.

**m)** $(x-1)(x^2+x+1)-x^3=(x^3-1)-x^3=-1$.

**n)** $\varepsilon^2+1$. $\varepsilon^2=\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3=-\frac12+\frac{\sqrt3}2i$, поэтому $\varepsilon^2+1=\frac12+\frac{\sqrt3}2i=\varepsilon$.

==== Ответ ====
a) $5$; b) $5$; c) $1$; d) $ab-c^2-d^2$; e) $a^2+b^2+c^2+d^2$; f) $\sin(\alpha-\beta)$; g) $\cos(\alpha+\beta)$; h) $\frac1{\cos^2\alpha}$; i) $0$; j) $0$; k) $(a-d)(c-b)$; l) $4ab$; m) $-1$; n) $\varepsilon$.