Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Задача 20.6 ===== **Условие.** Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка \(n\) линейным подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка \(n\), и если является, то найти его размерность: 1) множество матриц с нулевой первой строкой; 2) множество диагональных матриц; 3) множество верхних треугольных матриц; 4) множество симметрических матриц; 5) множество кососимметрических матриц; 6) множество вырожденных матриц. === Решение === 1) **Матрицы с нулевой первой строкой.** Если первая строка нулевая, то сумма таких матриц и умножение на скаляр сохраняют это свойство. Нулевая матрица входит. Следовательно, это подпространство. Размерность: первая строка фиксирована (все нули), остальные \(n-1\) строк произвольны, каждая содержит \(n\) элементов. Итого \(\dim = n(n-1)\). 2) **Диагональные матрицы.** Сумма диагональных матриц диагональна, умножение на скаляр — тоже. Нулевая матрица диагональна. Это подпространство. Размерность: диагональ содержит \(n\) независимых элементов. \(\dim = n\). 3) **Верхние треугольные матрицы** (элементы ниже главной диагонали равны нулю). Сумма и умножение на скаляр сохраняют верхнюю треугольность. Нулевая матрица входит. Это подпространство. Размерность: элементы на главной диагонали и выше: \(n + (n-1) + \dots + 1 = \frac{n(n+1)}{2}\). \(\dim = \frac{n(n+1)}{2}\). 4) **Симметрические матрицы** (\(A^T = A\)). Сумма симметрических матриц симметрична, умножение на скаляр тоже. Нулевая матрица симметрична. Это подпространство. Размерность: элементы на диагонали и выше определяют всю матрицу: \(\frac{n(n+1)}{2}\). \(\dim = \frac{n(n+1)}{2}\). 5) **Кососимметрические матрицы** (\(A^T = -A\)). Сумма и умножение на скаляр сохраняют кососимметричность. Нулевая матрица входит. Это подпространство. Размерность: на диагонали обязательно нули, элементы выше главной диагонали свободны: \(\frac{n(n-1)}{2}\). \(\dim = \frac{n(n-1)}{2}\). 6) **Вырожденные матрицы** (\(\det A = 0\)). Не является подпространством, так как сумма двух вырожденных матриц может быть невырожденной (например, матрицы с единственной единицей в разных позициях). Также не содержит нулевой? Нулевая матрица вырождена, но замыкание по сложению нарушается. --- **Ответ.** 1) Подпространство, размерность \(n(n-1)\). 2) Подпространство, размерность \(n\). 3) Подпространство, размерность \(\frac{n(n+1)}{2}\). 4) Подпространство, размерность \(\frac{n(n+1)}{2}\). 5) Подпространство, размерность \(\frac{n(n-1)}{2}\). 6) Не является подпространством.