Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. Вычислим следующие определители, приводя их к треугольному виду (методом Гаусса). --- ### Пункт а) Вычислить определитель $n \times n$ матрицы: $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ -1 & 0 & 3 & \dots & n \\ -1 & -2 & 0 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -2 & -3 & \dots & 0 \end{vmatrix}$$ **Пошаговое решение:** | **Шаг 1** | Обнуляем первый столбец под первым элементом. Для каждой строки $i$ от $2$ до $n$ прибавляем к ней первую строку: $R_i \to R_i + R_1$. | |---|---| | | $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & n \\ 0 & 2 & 6 & 8 & \dots & 2n \\ 0 & 0 & 3 & 7 & \dots & 2n \\ 0 & 0 & 0 & 4 & \dots & 2n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & n \end{vmatrix}$$ | | **Шаг 2** | В полученной матрице видим, что в каждой строке $i$ (начиная со второй) элементы $A_{i,j}$ при $j < i-1$ равны нулю. То есть, получилась верхнетреугольная матрица. Элементы на главной диагонали: $1, 2, 3, \dots, n$. | | **Шаг 3** | Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали. | | | $$D = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = n!$$ | **Ответ:** $n!$ --- ### Пункт б) Вычислить определитель $n \times n$ матрицы: $$D = \begin{vmatrix} 1 & n & n & \dots & n \\ n & 2 & n & \dots & n \\ n & n & 3 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & \dots & n \end{vmatrix}$$ **Пошаговое решение:** | **Шаг 1** | Из каждой строки, начиная со второй, вычитаем первую строку, умноженную на $1$. То есть $R_i \to R_i - R_1$ для $i=2, \dots, n$. | |---|---| | | $$D = \begin{vmatrix} 1 & n & n & \dots & n \\ n-1 & 2-n & 0 & \dots & 0 \\ n-1 & 0 & 3-n & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n-1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{vmatrix}$$ | | **Шаг 2** | Теперь вычтем из каждого столбца, начиная со второго, первый столбец, умноженный на $n$. То есть $C_j \to C_j - n C_1$ для $j=2, \dots, n$. | | | $$D = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ n-1 & 2-n & 0 & \dots & 0 \\ n-1 & -(n-1)n & 3-n & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n-1 & -(n-1)n & -(n-1)n & \dots & 0 \end{vmatrix}$$ | | **Шаг 3** | Определитель такой нижнетреугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали: | | | $$D = 1 \cdot (2-n) \cdot (3-n) \cdot \dots \cdot (n-1-n) \cdot (n-n)$$ | | | Поскольку последний элемент на диагонали равен $n-n=0$, весь определитель равен $0$. | **Ответ:** $0$ --- ### Пункт в) Вычислить определитель $n \times n$ матрицы: $$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ a_1 & a_1 & \dots & a_1 & a_1 - b_1 & a_1 \\ a_2 & a_2 & \dots & a_2 - b_2 & a_2 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_n - b_n & a_n & \dots & a_n & a_n & a_n \end{vmatrix}$$ **Пошаговое решение:** | **Шаг 1** | Из каждой строки $i$, начиная со второй, вычтем первую строку, умноженную на $a_i$. То есть $R_i \to R_i - a_i R_1$ для $i=2, \dots, n$. | |---|---| | | $$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & -b_1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & -b_2 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -b_n & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ | | **Шаг 2** | Полученная матрица имеет особый вид: на главной диагонали нули, и ненулевые элементы находятся на "побочной" диагонали. Разложим определитель по первой строке. Единственный ненулевой элемент в первой строке (кроме первого $1$) приведет к ненулевым минорам. Проще заметить, что это "антидиагональная" матрица, кроме первого элемента. | | **Шаг 3** | Переставим столбцы так, чтобы получить треугольный вид. Переставим столбцы в обратном порядке: последний станет вторым, предпоследний — третьим и т.д. Это приведет к $(n-1) + (n-2) + \dots + 1 = \frac{n(n-1)}{2}$ перестановок, каждая из которых меняет знак определителя. | | | Либо, что проще, разложим определитель по первому столбцу. Минор $M_{1,1}$ имеет вид: | | | $$\begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & -b_1 & 0 \\ 0 & \dots & -b_2 & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & -b_{n-1} & \dots & 0 & 0 \\ -b_n & 0 & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ | | **Шаг 4** | Это определитель "антидиагональной" матрицы. Его значение равно произведению элементов на антидиагонали, умноженному на $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$. | | | $$D = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \cdot ((-b_1)(-b_2)\dots(-b_n))$$ | | | $$D = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \cdot (-1)^n \cdot b_1 b_2 \dots b_n$$ | **Ответ:** $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2} + n} b_1 b_2 \dots b_n$ *(Примечание: это можно упростить до $(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} b_1 b_2 \dots b_n$)*.