Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== ЛАиГ 7.3. Степени комплексных чисел ===== ==== Условие задачи ==== Представить комплексное число в одной из известных форм: $$\text{а) }\Bigl(\frac{-1+\sqrt3\,i}{1-i}\Bigr)^5,\qquad \text{б) }\bigl(-4e^{i\pi/6}\bigr)^3,\qquad \text{в) }\Bigl(\overline{(-1-\sqrt3i)}\,e^{-i\pi/3}\Bigr)^6,\qquad \text{г) }(-i)^3.$$ (В листке в пункте а) в числителе пропущено $i$; разобран вариант $-1+\sqrt3\,i$.) ==== Решение ==== Возводить в степень удобно в показательной форме: $(re^{i\varphi})^n=r^ne^{in\varphi}$ (формула Муавра). **а)** $-1+\sqrt3i=2e^{2\pi i/3}$, $1-i=\sqrt2e^{-\pi i/4}$, частное $\sqrt2\,e^{i(2\pi/3+\pi/4)}=\sqrt2\,e^{11\pi i/12}$. $$\bigl(\sqrt2e^{11\pi i/12}\bigr)^5=4\sqrt2\,e^{55\pi i/12}=4\sqrt2\,e^{7\pi i/12}$$ ($55\pi/12-4\pi=7\pi/12$). Алгебраическая форма: $\cos\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}4$, $\sin\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$: $$4\sqrt2\Bigl(\frac{\sqrt2-\sqrt6}4+i\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\Bigr)=(2-2\sqrt3)+(2+2\sqrt3)i.$$ **б)** $(-4)^3e^{3i\pi/6}=-64e^{i\pi/2}=-64i$. **в)** $\overline{-1-\sqrt3i}=-1+\sqrt3i=2e^{2\pi i/3}$; умножаем на $e^{-i\pi/3}$: $2e^{i\pi/3}$; в шестой степени $64e^{2\pi i}=64$. **г)** $(-i)^3=-i^3=-(-i)=i$. ==== Ответ ==== а) $4\sqrt2e^{7\pi i/12}=(2-2\sqrt3)+(2+2\sqrt3)i$; б) $-64i$; в) $64$; г) $i$.