Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== ЛАиГ 4.5. Траектория при повороте системы координат ===== ==== Условие задачи ==== Пусть «новая» система координат $OX'Y'$ получена из «старой» прямоугольной системы $OXY$ поворотом на $\frac\pi3$ против часовой стрелки. Точка $\mathbf r=\mathbf r(t)$ движется по траектории $$\mathbf r(t)=\begin{pmatrix}1-t\\\sqrt{2t-t^2}\end{pmatrix},\quad t\in[0,1],$$ в «новой» системе координат. Найти закон движения точки в старой системе координат. ==== Решение ==== Формулы поворота на $\varphi=\frac\pi3$: $$x=x'\cos\varphi-y'\sin\varphi=\frac12x'-\frac{\sqrt3}2y',\qquad y=\frac{\sqrt3}2x'+\frac12y'.$$ Подставляем $x'=1-t$, $y'=\sqrt{2t-t^2}$: $$x(t)=\frac{1-t}2-\frac{\sqrt3}2\sqrt{2t-t^2},\qquad y(t)=\frac{\sqrt3}2(1-t)+\frac12\sqrt{2t-t^2}.$$ //Геометрия.// $x'^2+y'^2=(1-t)^2+2t-t^2=1$: в новой системе точка идёт по единичной окружности от $(1,0)$ при $t=0$ до $(0,1)$ при $t=1$ (четверть окружности). При повороте осей окружность переходит в себя, а дуга поворачивается: в старой системе она идёт от угла $\frac\pi3$ до угла $\frac{5\pi}6$. ==== Ответ ==== $x(t)=\dfrac{1-t-\sqrt3\sqrt{2t-t^2}}2$, $y(t)=\dfrac{\sqrt3(1-t)+\sqrt{2t-t^2}}2$, $t\in[0,1]$ — дуга единичной окружности от угла $\frac\pi3$ до $\frac{5\pi}6$.