Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== ЛАиГ 2.1.1. Построение линейных комбинаций ===== ==== Условие задачи ==== Даны векторы $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$. Построить векторы $$2\mathbf a-\mathbf b,\qquad \tfrac12\mathbf a+\mathbf b,\qquad \tfrac32\mathbf a-\tfrac13\mathbf b,\qquad -\tfrac32\mathbf a+\mathbf b+\tfrac12\mathbf c.$$ Рассмотреть случаи, когда векторы коллинеарны и когда они линейно независимы. ==== Решение ==== Построение опирается на два правила. * **Умножение на число** $\lambda$: длина умножается на $|\lambda|$, направление сохраняется при $\lambda>0$ и меняется на противоположное при $\lambda<0$. * **Сложение** — по правилу треугольника: конец первого вектора совмещаем с началом второго; сумма идёт из начала первого в конец второго. Для нескольких слагаемых — правило многоугольника (ломаной). **$2\mathbf a-\mathbf b$.** Откладываем $2\mathbf a$ (вдвое длиннее $\mathbf a$), от его конца — вектор $-\mathbf b$. Иначе: от общего начала строим $2\mathbf a$ и $\mathbf b$; разность $2\mathbf a-\mathbf b$ идёт из конца $\mathbf b$ в конец $2\mathbf a$. **$\tfrac12\mathbf a+\mathbf b$.** Половина $\mathbf a$, к её концу приставляем $\mathbf b$. Можно и по правилу параллелограмма: диагональ параллелограмма на $\tfrac12\mathbf a$ и $\mathbf b$. **$\tfrac32\mathbf a-\tfrac13\mathbf b$.** Аналогично: $\tfrac32\mathbf a$, затем от его конца $-\tfrac13\mathbf b$ (треть $\mathbf b$ в обратную сторону). **$-\tfrac32\mathbf a+\mathbf b+\tfrac12\mathbf c$.** Ломаная из трёх звеньев: $-\tfrac32\mathbf a$, затем $\mathbf b$, затем $\tfrac12\mathbf c$; результат — из начала ломаной в её конец. **Случай коллинеарных векторов.** Если, например, $\mathbf b=k\mathbf a$, все построения происходят на одной прямой и сводятся к арифметике коэффициентов: $2\mathbf a-\mathbf b=(2-k)\mathbf a$, $\tfrac12\mathbf a+\mathbf b=(\tfrac12+k)\mathbf a$ и т.д. Результат может оказаться нулевым вектором (при $k=2$ первый). **Случай линейно независимых $\mathbf a,\mathbf b$.** Тогда $\mathbf a,\mathbf b$ — базис плоскости, и вектор $\alpha\mathbf a+\beta\mathbf b$ имеет в нём координаты $(\alpha,\beta)$: $2\mathbf a-\mathbf b\leftrightarrow(2,-1)$, $\tfrac12\mathbf a+\mathbf b\leftrightarrow(\tfrac12,1)$, $\tfrac32\mathbf a-\tfrac13\mathbf b\leftrightarrow(\tfrac32,-\tfrac13)$. Ни один из них не равен нулю. Если и $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ некомпланарны, то последний вектор имеет координаты $(-\tfrac32,1,\tfrac12)$ в базисе $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$. ==== Ответ ==== Построение по правилам треугольника/многоугольника; при независимых векторах координаты: $(2,-1)$, $(\tfrac12,1)$, $(\tfrac32,-\tfrac13)$, $(-\tfrac32,1,\tfrac12)$.