Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Беклемишев 2.22. Площадь параллелограмма в косоугольном базисе ===== ==== Условие задачи ==== Длины базисных векторов $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3$ равны соответственно $1,1,2$; углы между ними равны $\angle(\mathbf e_1,\mathbf e_2)=90^\circ$, $\angle(\mathbf e_1,\mathbf e_3)=\angle(\mathbf e_2,\mathbf e_3)=60^\circ$. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf a(-1,0,2)$ и $\mathbf b(2,-1,1)$. ==== Решение ==== Матрица Грама: $$G=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&4\end{pmatrix}\quad(g_{13}=g_{23}=1\cdot2\cdot\tfrac12=1).$$ $G\mathbf a=(-1+2,\ 2,\ -1+8)=(1,2,7)$, $G\mathbf b=(2+1,\ -1+1,\ 2-1+4)=(3,0,5)$. $$|\mathbf a|^2=(1,2,7)\cdot(-1,0,2)=13,\quad |\mathbf b|^2=(3,0,5)\cdot(2,-1,1)=11,\quad (\mathbf a,\mathbf b)=(1,2,7)\cdot(2,-1,1)=7.$$ Площадь параллелограмма (см. [[matan:bk-2-15|2.15]]): $$S=\sqrt{|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2-(\mathbf a,\mathbf b)^2}=\sqrt{143-49}=\sqrt{94}.$$ Формула векторного произведения через координаты здесь не годится: она верна только в ортонормированном базисе. ==== Ответ ==== $S=\sqrt{94}$.