Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== Беклемишев 2.21. Параллелограмм в косоугольном базисе пространства ===== ==== Условие задачи ==== Длины базисных векторов $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3$ равны соответственно $3$, $\sqrt2$, $4$, а углы между ними равны $\angle(\mathbf e_1,\mathbf e_2)=\angle(\mathbf e_2,\mathbf e_3)=45^\circ$, $\angle(\mathbf e_1,\mathbf e_3)=60^\circ$. Вычислить длины сторон и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты $(1,-3,0)$ и $(-1,2,1)$. ==== Решение ==== Матрица Грама $G=(\mathbf e_i,\mathbf e_j)$: $$g_{11}=9,\ g_{22}=2,\ g_{33}=16,\quad g_{12}=3\sqrt2\cdot\tfrac{\sqrt2}2=3,\quad g_{23}=4\sqrt2\cdot\tfrac{\sqrt2}2=4,\quad g_{13}=12\cdot\tfrac12=6.$$ $$G=\begin{pmatrix}9&3&6\\3&2&4\\6&4&16\end{pmatrix},\qquad (\mathbf x,\mathbf y)=\mathbf x^TG\,\mathbf y.$$ $\mathbf a=(1,-3,0)$: $G\mathbf a=(9-9,\ 3-6,\ 6-12)=(0,-3,-6)$. $$|\mathbf a|^2=\mathbf a^TG\mathbf a=0+9+0=9,\qquad (\mathbf a,\mathbf b)=(G\mathbf a)^T\mathbf b=0-6-6=-12.$$ $\mathbf b=(-1,2,1)$: $G\mathbf b=(-9+6+6,\ -3+4+4,\ -6+8+16)=(3,5,18)$, $|\mathbf b|^2=-3+10+18=25$. Стороны $|\mathbf a|=3$, $|\mathbf b|=5$; $$\cos\varphi=\frac{-12}{3\cdot5}=-\frac45.$$ ==== Ответ ==== Стороны $3$ и $5$; углы $\arccos\frac45$ и $\pi-\arccos\frac45$.