Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 4.5.9. Интеграл $\int \cos\sqrt x\,dx$ (замена + по частям) ===== ==== Условие задачи ==== Вычислить $\displaystyle\int \cos\sqrt x\,dx$. ==== Решение ==== **Замена.** Пусть $u=\sqrt x$, тогда $x=u^2$, $dx=2u\,du$: $$ \int \cos\sqrt x\,dx = \int \cos u \cdot 2u\,du = 2\int u\cos u\,du. $$ **По частям.** $p=u$, $dv=\cos u\,du$, тогда $dp=du$, $v=\sin u$: $$ \int u\cos u\,du = u\sin u - \int \sin u\,du = u\sin u + \cos u + C. $$ Значит: $$ 2\int u\cos u\,du = 2u\sin u + 2\cos u + C. $$ Возвращаемся к $x$ ($u=\sqrt x$): $$ \int \cos\sqrt x\,dx = 2\sqrt x\sin\sqrt x + 2\cos\sqrt x + C. $$ ==== Ответ ==== $$ \boxed{\int \cos\sqrt x\,dx = 2\sqrt x\sin\sqrt x + 2\cos\sqrt x + C} $$