Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 4.5.6. Интеграл $\int x^2\sin(2x)\,dx$ ===== ==== Условие задачи ==== Вычислить $\displaystyle\int x^2\sin(2x)\,dx$. ==== Решение ==== **Шаг 1.** $u=x^2$, $dv=\sin2x\,dx$, тогда $du=2x\,dx$, $v=-\dfrac{\cos2x}{2}$: $$ I = -\frac{x^2\cos2x}{2} + \int x\cos2x\,dx. $$ **Шаг 2.** Для $\displaystyle\int x\cos2x\,dx$: $u=x$, $dv=\cos2x\,dx$, тогда $du=dx$, $v=\dfrac{\sin2x}{2}$: $$ \int x\cos2x\,dx = \frac{x\sin2x}{2} - \int \frac{\sin2x}{2}\,dx = \frac{x\sin2x}{2} + \frac{\cos2x}{4} + C. $$ Подставляем обратно: $$ I = -\frac{x^2\cos2x}{2} + \frac{x\sin2x}{2} + \frac{\cos2x}{4} + C. $$ ==== Ответ ==== $$ \boxed{\int x^2\sin(2x)\,dx = -\frac{x^2}{2}\cos2x + \frac{x}{2}\sin2x + \frac{1}{4}\cos2x + C} $$