Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 4.5.2. Интеграл $\int \mathrm{arctg}\,x\,dx$ ===== ==== Условие задачи ==== Вычислить $\displaystyle\int \mathrm{arctg}\,x\,dx$. ==== Решение ==== Интегрируем по частям: $u=\mathrm{arctg}\,x$, $dv=dx$, тогда $du=\dfrac{dx}{1+x^2}$, $v=x$. $$ \int \mathrm{arctg}\,x\,dx = x\,\mathrm{arctg}\,x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx. $$ Для оставшегося интеграла делаем замену $w=1+x^2$, $dw=2x\,dx$: $$ \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac12\int\frac{dw}{w} = \frac12\ln(1+x^2)+C. $$ Итого: $$ \int \mathrm{arctg}\,x\,dx = x\,\mathrm{arctg}\,x - \frac12\ln(1+x^2) + C. $$ ==== Ответ ==== $$ \boxed{\int \mathrm{arctg}\,x\,dx = x\,\mathrm{arctg}\,x - \frac12\ln(1+x^2) + C} $$