Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 4.2.14*. 1/sin x: универсальная тригонометрическая подстановка ===== Задача повышенной сложности (со звёздочкой). ==== Условие задачи ==== $$\int \dfrac{dx}{\sin x}$$ ==== Решение ==== Применим универсальную тригонометрическую подстановку $t=\mathrm{tg}\dfrac x2$, тогда $$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.$$ Подставляем: $$\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{\frac{2\,dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\int\frac{dt}t=\ln|t|+C=\ln\left|\mathrm{tg}\frac x2\right|+C.$$ ==== Ответ ==== $$\boxed{\ln\left|\mathrm{tg}\dfrac x2\right|+C}$$