Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 4.2.13*. 1/(1+cos x): формула половинного угла ===== Задача повышенной сложности (со звёздочкой). ==== Условие задачи ==== $$\int \dfrac{dx}{1+\cos x}$$ ==== Решение ==== Используем формулу половинного угла $1+\cos x=2\cos^2\dfrac x2$: $$\frac1{1+\cos x}=\frac1{2\cos^2(x/2)}.$$ Пусть $u=\dfrac x2$, $du=\dfrac{dx}2$, $dx=2\,du$: $$\int\frac{dx}{2\cos^2(x/2)}=\int\frac{2\,du}{2\cos^2u}=\int\frac{du}{\cos^2u}=\mathrm{tg}\,u+C=\mathrm{tg}\frac x2+C.$$ ==== Ответ ==== $$\boxed{\mathrm{tg}\dfrac x2+C}$$