Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 4.2.11*. sin³x/cos²x: разложение и замена u=cos x ===== Задача повышенной сложности (со звёздочкой). ==== Условие задачи ==== $$\int \dfrac{\sin^3x}{\cos^2x}\,dx$$ ==== Решение ==== Отделим один синус, чтобы оставшуюся чётную степень выразить через косинус: $\sin^3x=\sin x(1-\cos^2x)$. $$\frac{\sin^3x}{\cos^2x}=\frac{\sin x(1-\cos^2x)}{\cos^2x}=\frac{\sin x}{\cos^2x}-\sin x.$$ Пусть $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$: $$\int\frac{\sin x\,dx}{\cos^2x}=-\int\frac{du}{u^2}=\frac1u+C_1=\frac1{\cos x}+C_1.$$ Второе слагаемое: $-\int\sin x\,dx=\cos x+C_2$. Складывая: $$\int\frac{\sin^3x}{\cos^2x}\,dx=\frac1{\cos x}+\cos x+C.$$ ==== Ответ ==== $$\boxed{\dfrac1{\cos x}+\cos x+C}$$