Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 3.1.3. Полином Тейлора функции $(1+x)^{-1/2}$ в окрестности $x_0=0$ (3-й порядок) ===== ==== Условие задачи ==== Найти полином Тейлора в окрестности точки $x_0=0$ до третьего порядка для функции $f(x)=(1+x)^{-1/2}$. ==== Решение ==== Используем общий биномиальный ряд $$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\ldots$$ с $\alpha=-\dfrac12$. Коэффициент при $x$: $\alpha=-\dfrac12$. Коэффициент при $x^2$: $$\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}=\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{2}=\frac{3/4}{2}=\frac38.$$ Коэффициент при $x^3$: $$\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}=\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{6}=\frac{-15/8}{6}=-\frac{5}{16}.$$ ==== Ответ ==== $$\boxed{T_3(x)=1-\frac{x}{2}+\frac38x^2-\frac{5}{16}x^3.}$$