Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 2.2.3. Стационарная точка функции $-\dfrac{x}{6}+\sqrt{1+\dfrac{x^2}{4}}$ ===== ==== Условие задачи ==== Найти стационарную точку функции $f(x)=-\dfrac{x}{6}+\sqrt{1+\dfrac{x^2}{4}}$. ==== Решение ==== Область определения — вся числовая ось, так как $1+\dfrac{x^2}{4}>0$ всегда. Найдём производную: $$f'(x)=-\frac16+\frac{1}{2\sqrt{1+x^2/4}}\cdot\frac{x}{2}=-\frac16+\frac{x}{4\sqrt{1+x^2/4}}.$$ Приравняем к нулю: $$\frac{x}{4\sqrt{1+x^2/4}}=\frac16 \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{\sqrt{1+x^2/4}}=\frac23.$$ Правая часть положительна, значит $x>0$. Возведём в квадрат: $$x^2=\frac49\left(1+\frac{x^2}{4}\right)=\frac49+\frac{x^2}{9} \quad\Rightarrow\quad \frac{8}{9}x^2=\frac49 \quad\Rightarrow\quad x^2=\frac12.$$ С учётом $x>0$: $x=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Проверим, что это действительно решение (посторонний корень $x=-\frac{1}{\sqrt2}$ отбрасывается, так как для него левая часть отрицательна, а правая $2/3>0$). Значение функции в этой точке: $$1+\frac{x^2}{4}=1+\frac18=\frac98,\qquad \sqrt{\frac98}=\frac{3}{2\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{4},$$ $$f\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{1}{6\sqrt2}+\frac{3\sqrt2}{4}=-\frac{\sqrt2}{12}+\frac{9\sqrt2}{12}=\frac{8\sqrt2}{12}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$ Характер точки: вторая производная $$f''(x)=\frac{1}{4}\left(1+\frac{x^2}{4}\right)^{-3/2}>0$$ при всех $x$ (проверяется прямым вычислением), значит функция всюду выпукла вниз, и найденная стационарная точка — точка глобального минимума. ==== Ответ ==== $$\boxed{x=\frac{\sqrt2}{2}\ \text{— точка минимума},\qquad f_{min}=\frac{2\sqrt2}{3}.}$$